( ) 85. Obtenha a expressão para a taxa de calor em termos do raio externo do isolante partindo do conceito de analogia com a resistência ôhmica, pela expressão: Q=\frac{\Delta T}{R_{\text {total }}}.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de calor Q conduzida radialmente através de um isolante cilíndrico de raio interno r_i, raio externo r_e, comprimento L e condutividade térmica k. Vamos usar a analogia com resistência ôhmica, isto é,
Q = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde \Delta T = T_i - T_e é a diferença de temperatura entre as superfícies interna e externa, e R_{\text{total}} é a resistência térmica do cilindro.

Passo 2

Para um elemento cilíndrico de espessura infinitesimal \mathrm{d}r localizado a um raio r, a área de fluxo é
A(r) = 2\pi\,r\,L.
A resistência térmica desse anel é
\mathrm{d}R = \frac{\mathrm{d}r}{k\,A(r)} = \frac{\mathrm{d}r}{k\,(2\pi\,r\,L)}.

Passo 3

Integramos \mathrm{d}R de r_i até r_e para obter R_{\text{total}}:
R_{\text{total}} = \int_{r_i}^{r_e} \frac{\mathrm{d}r}{2\pi\,k\,L\,r} = \frac{1}{2\pi\,k\,L} \int_{r_i}^{r_e} \frac{\mathrm{d}r}{r} = \frac{1}{2\pi\,k\,L}\,\ln\!\biggl(\frac{r_e}{r_i}\biggr).

Passo 4

Substituindo R_{\text{total}} em Q = \Delta T/R_{\text{total}}, temos
Q = \frac{\Delta T}{\displaystyle \frac{1}{2\pi\,k\,L}\,\ln\!\bigl(\frac{r_e}{r_i}\bigr)} = \frac{2\pi\,k\,L\,\Delta T}{\ln\!\bigl(\frac{r_e}{r_i}\bigr)}.

Resposta

Q = \frac{2\pi\,k\,L\,(T_i - T_e)}{\ln\!\bigl(\frac{r_e}{r_i}\bigr)}.

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