5.87. Um eixo de aço é constituído por uma seção A B maciça e um segmento tubular de aço com núcleo de latão. Supondo que ele esteja preso a um apoio rígido em A e seja aplicado um torque T=50 \mathrm{lb}. pés em C, determinar o ângulo de torção que ocorre em C e calcular o cisalhamento máximo e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço. Assumir que G_{a c ̧ o}=11,5\left(10^{3}\right)̧ ksi e G_{\text {latão }}=5,6\left(10^{3}\right) \mathrm{ksi}ã.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Determinar o ângulo de torção em C quando um torque T é aplicado em C e o eixo está preso em A.
  2. Calcular o cisalhamento máximo e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço.
As informações explicitamente dadas no enunciado:
  • Torque aplicado: T=50\\ \mathrm{lb}\cdot\mathrm{ft}.
  • Módulos de cisalhamento: G_{\text{aço}}=11{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{ksi}ç e G_{\text{latão}}=5{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{ksi}ã.
  • Geometria qualitativa: existe uma seção AB maciça (presumivelmente de aço) e um segmento tubular de aço que contém um núcleo de latão (ou seja, seção composta coaxial: núcleo de latão de raio interno/externo e tubo de aço entre raios). O apoio é rígido em A e o torque é aplicado em C.
Informações que faltam e que são essenciais para obter valores numéricos:
  • Raios ou diâmetros: raio externo do tubo de aço R e raio do núcleo de latão r (ou quaisquer outras dimensões das seções transversais).
  • Comprimentos dos trechos: comprimento da seção maciça L_{1} (trecho A até B se aplicável) e comprimento do trecho composto tubulado L_{2} (do trecho com núcleo de latão até C).
    Sem essas dimensões numéricas não é possível calcular valores numéricos do ângulo de torção, tensões e deformações. A resolução a seguir explica passo a passo a teoria e as fórmulas que usaremos assim que você tiver as dimensões.

Passo 2

Conceito-chave de torsão (lição curta e prática):
  • Quando um corpo circular (sólido ou oco) está submetido a um torque torsor T, ele gira; a relação entre torque, rigidez à torção e taxa de torção é dada por
\frac{d\theta}{dx}=\frac{T(x)}{G\,J},
onde:
  • \theta é o ângulo de torção (rad),
  • x é a coordenada ao longo do eixo,
  • T(x) é o torque transmitido naquela seção,
  • G é o módulo de cisalhamento do material (unidade: pressão),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (também chamado de “rigidez geométrica” para torção).
Para segmentos de comprimento constante L com torque constante T e seção com G e J constantes, o ângulo de torção do segmento é
\Delta\theta=\frac{T\,L}{G\,J}.
Momentos polares de inércia para círculos (fórmulas padrão):
  • Para uma barra circular maciça de raio a:
J_{\text{sólido}}=\frac{\pi}{2}\,a^{4}.ó
  • Para um tubo circular com raio externo R e interno r:
J_{\text{oco}}=\frac{\pi}{2}\,\bigl(R^{4}-r^{4}\bigr).
Explicação breve: J mede “quão resistente” a seção é à torção; depende fortemente do raio à quarta potência r^{4}, por isso o raio é crítico.

Passo 3

Como proceder com uma seção composta coaxial (núcleo de latão + tubo de aço):
  • Em uma seção coaxial composta sujeita a um torque total T, os dois materiais giram juntos (mesmo \theta local), portanto a taxa de rotação por comprimento é a mesma para os dois materiais. A rigidez total à torção da seção composta é a soma das rigidezes individuais:
(GJ)_{\text{equivalente}}=G_{\text{latão}}\,J_{\text{latão}}+G_{\text{aço}}\,J_{\text{aço\_tubo}}.ããçç
  • O torque total distribui-se entre núcleo e tubo em proporção às suas rigidezes:
T_{\text{latão}} = T\cdot\frac{G_{\text{latão}}\,J_{\text{latão}}}{G_{\text{latão}}\,J_{\text{latão}}+G_{\text{aço}}\,J_{\text{aço\_tubo}}}ãããããçç
T_{\text{aço}} = T\cdot\frac{G_{\text{aço}}\,J_{\text{aço\_tubo}}}{G_{\text{latão}}\,J_{\text{latão}}+G_{\text{aço}}\,J_{\text{aço\_tubo}}}çççããçç
(Ver: soma T_{\text{latão}}+T_{\text{aço}}=Tãç.)
Cisalhamento máximo em cada material:
  • Para cada material o cisalhamento máximo ocorre na superfície mais externa daquele material; a fórmula geral é
\tau_{\max}=\frac{T_{\text{parc}}\;r_{\text{ext}}}{J_{\text{parc}}},
onde r_{\text{ext}} é o raio externo do componente considerado (para o latão, r_{\text{ext}}=r; para o aço, r_{\text{ext}}=R), e J_{\text{parc}} é o J do componente. Substituindo T_{\text{parc}} das expressões acima e simplificando obtemos uma forma muito útil:
\tau_{\text{latão, max}}=T\cdot\frac{G_{\text{latão}}\,r}{G_{\text{latão}}\,J_{\text{latão}}+G_{\text{aço}}\,J_{\text{aço\_tubo}}},ããããçç
\tau_{\text{aço, max}}=T\cdot\frac{G_{\text{aço}}\,R}{G_{\text{latão}}\,J_{\text{latão}}+G_{\text{aço}}\,J_{\text{aço\_tubo}}}.ççããçç
Observação elegante: os J dos componentes aparecem no denominador somados, mas no numerador só aparece r (ou R) multiplicado por G — é uma simplificação prática para cálculo direto.
Deformação por cisalhamento máxima:
  • Para cada material, a deformação por cisalhamento máxima \gamma_{\max} está relacionada a \tau_{\max} por
\gamma_{\max}=\frac{\tau_{\max}}{G_{\text{material}}}.
Com as expressões de \tau_{\max} acima surge uma grande simplificação:
\gamma_{\text{latão,max}}=T\cdot\frac{r}{G_{\text{latão}}\,J_{\text{latão}}+G_{\text{aço}}\,J_{\text{aço\_tubo}}},ãããçç
\gamma_{\text{aço,max}}=T\cdot\frac{R}{G_{\text{latão}}\,J_{\text{latão}}+G_{\text{aço}}\,J_{\text{aço\_tubo}}}.çããçç
Observe que as deformações máximas não dependem diretamente dos módulos G isoladamente (eles estão no denominador combinado), o que facilita comparações entre materiais.

Passo 4

Como calcular o ângulo de torção total em C:
  • Supondo que exista um trecho maciço (sólido, de aço) de comprimento L_{1} e raio R_{1} (seção maciça AB) e depois um trecho composto (núcleo de latão raio r, tubo de aço de raio externo R) de comprimento L_{2} que vai até C, o ângulo total em C (medido a partir de A) é a soma das rotações dos trechos:
\theta_{C}=\frac{T\,L_{1}}{G_{\text{aço}}\,J_{\text{sólido\_aço}}} \;+\; \frac{T\,L_{2}}{G_{\text{latão}}\,J_{\text{latão}}+G_{\text{aço}}\,J_{\text{aço\_tubo}}}.çóçããçç
Aqui:
J_{\text{sólido\_aço}}=\frac{\pi}{2}\,R_{1}^{4},óç
J_{\text{latão}}=\frac{\pi}{2}\,r^{4},ã
J_{\text{aço\_tubo}}=\frac{\pi}{2}\,\bigl(R^{4}-r^{4}\bigr).ç
Explicação prática: o primeiro termo é a rotação do trecho maciço de aço; o segundo termo é a rotação do trecho composto, tratando a rigidez do trecho composto como a soma GJ dos dois materiais (essa soma é a rigidez eficaz do conjunto coaxial).

Passo 5

Unidades e conversões (muito importante para a prova):
  • O torque dado é T=50\\ \mathrm{lb}\cdot\mathrm{ft}. Para trabalhar com J em polegadas ( \mathrm{in}) e G em psi (ou ksi), converta:
T=50\\ \mathrm{lb}\cdot\mathrm{ft}=50\cdot12\\ \mathrm{lb}\cdot\mathrm{in}=600\\ \mathrm{lb}\cdot\mathrm{in}.
  • G está dado em \mathrm{ksi}. Lembre-se que 1\\ \mathrm{ksi}=1000\\ \mathrm{psi}. Assim, por exemplo,
G_{\text{aço}}=11{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{ksi}=11{,}5\times10^{3}\times10^{3}\\ \mathrm{psi}=11{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{psi},ç
se você preferir trabalhar em \mathrm{psi}. (Mas é comum manter G em \mathrm{ksi} e expressar J em \mathrm{in}^{4} e T em \mathrm{kips}\cdot\mathrm{in}. Apenas seja consistente.)
  • Procedimento numérico para a prova (passo a passo quando tiver dimensões):
    1. Converter T para \mathrm{lb}\cdot\mathrm{in}.
    2. Calcular J dos componentes com as fórmulas do Passo 3.
    3. Calcular G_{\text{latão}}J_{\text{latão}}+G_{\text{aço}}J_{\text{aço\_tubo}}ããçç.
    4. Usar as fórmulas do Passo 3 para obter \tau_{\text{latão,max}}ã, \tau_{\text{aço,max}}ç, \gamma_{\text{latão,max}}ã, \gamma_{\text{aço,max}}ç.
    5. Calcular \theta_{C} com a fórmula do Passo 4 (somando as rotações de cada trecho). Se a seção maciça AB também for de aço com raio igual ao tubo externo, basta usar J_{\text{sólido}}ó apropriado.
  • Dica de prova: como J\propto r^{4}, pequenas diferenças nos raios alteram muito \theta e \tau; sempre verifique se os dados do enunciado estão em polegadas ou milímetros.

Passo 6

Resumo e conclusão prática (sem inventar dados):
  • Eu expliquei todas as fórmulas e mostrei passo a passo como chegar ao ângulo em C, às tensões e às deformações quando as dimensões sejam conhecidas.
  • Porém, com os dados que você me enviou aqui não há valores numéricos de raios/diâmetros nem comprimentos dos trechos; portanto não é possível calcular numericamente:
    • o ângulo de torção em C,
    • o cisalhamento máximo no latão e no aço,
    • a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço.
Se você me passar os valores dos raios (ou diâmetros) das seções e os comprimentos L_{1} e L_{2} (ou uma figura com essas medidas), eu faço a conta completa passo a passo e te passo os números finais prontos para a prova.

Resposta

Não é possível calcular numericamente o ângulo de torção, o cisalhamento máximo e a deformação por cisalhamento máxima porque as dimensões (raios/diâmetros das seções e comprimentos dos trechos) não foram fornecidas.

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