5.87. Um eixo de aço é constituído por uma seção
maciça e um segmento tubular de aço com núcleo de latão. Supondo que ele esteja preso a um apoio rígido em
e seja aplicado um torque
. pés em
, determinar o ângulo de torção que ocorre em
e calcular o cisalhamento máximo e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço. Assumir que
ksi e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Determinar o ângulo de torção em
quando um torque é aplicado em e o eixo está preso em . - Calcular o cisalhamento máximo e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço.
As informações explicitamente dadas no enunciado:
- Torque aplicado:
. - Módulos de cisalhamento:
e . - Geometria qualitativa: existe uma seção
maciça (presumivelmente de aço) e um segmento tubular de aço que contém um núcleo de latão (ou seja, seção composta coaxial: núcleo de latão de raio interno/externo e tubo de aço entre raios). O apoio é rígido em e o torque é aplicado em .
Informações que faltam e que são essenciais para obter valores numéricos:
- Raios ou diâmetros: raio externo do tubo de aço
e raio do núcleo de latão (ou quaisquer outras dimensões das seções transversais). - Comprimentos dos trechos: comprimento da seção maciça
(trecho até se aplicável) e comprimento do trecho composto tubulado (do trecho com núcleo de latão até ).
Sem essas dimensões numéricas não é possível calcular valores numéricos do ângulo de torção, tensões e deformações. A resolução a seguir explica passo a passo a teoria e as fórmulas que usaremos assim que você tiver as dimensões.
Passo 2
Conceito-chave de torsão (lição curta e prática):
- Quando um corpo circular (sólido ou oco) está submetido a um torque torsor
, ele gira; a relação entre torque, rigidez à torção e taxa de torção é dada por
onde:
-
é o ângulo de torção (rad), -
é a coordenada ao longo do eixo, -
é o torque transmitido naquela seção, -
é o módulo de cisalhamento do material (unidade: pressão), -
é o momento polar de inércia da seção transversal (também chamado de “rigidez geométrica” para torção).
Para segmentos de comprimento constante
com torque constante
e seção com
e
constantes, o ângulo de torção do segmento é
Momentos polares de inércia para círculos (fórmulas padrão):
- Para uma barra circular maciça de raio
:
- Para um tubo circular com raio externo
e interno :
Explicação breve:
mede “quão resistente” a seção é à torção; depende fortemente do raio à quarta potência
, por isso o raio é crítico.
Passo 3
Como proceder com uma seção composta coaxial (núcleo de latão + tubo de aço):
- Em uma seção coaxial composta sujeita a um torque total
, os dois materiais giram juntos (mesmo local), portanto a taxa de rotação por comprimento é a mesma para os dois materiais. A rigidez total à torção da seção composta é a soma das rigidezes individuais:
- O torque total distribui-se entre núcleo e tubo em proporção às suas rigidezes:
(Ver: soma
.)
Cisalhamento máximo em cada material:
- Para cada material o cisalhamento máximo ocorre na superfície mais externa daquele material; a fórmula geral é
onde
é o raio externo do componente considerado (para o latão,
; para o aço,
), e
é o
do componente. Substituindo
das expressões acima e simplificando obtemos uma forma muito útil:
Observação elegante: os
dos componentes aparecem no denominador somados, mas no numerador só aparece
(ou
) multiplicado por
— é uma simplificação prática para cálculo direto.
Deformação por cisalhamento máxima:
- Para cada material, a deformação por cisalhamento máxima
está relacionada a por
Com as expressões de
acima surge uma grande simplificação:
Observe que as deformações máximas não dependem diretamente dos módulos
isoladamente (eles estão no denominador combinado), o que facilita comparações entre materiais.
Passo 4
Como calcular o ângulo de torção total em
:
- Supondo que exista um trecho maciço (sólido, de aço) de comprimento
e raio (seção maciça ) e depois um trecho composto (núcleo de latão raio , tubo de aço de raio externo ) de comprimento que vai até , o ângulo total em (medido a partir de ) é a soma das rotações dos trechos:
Aqui:
Explicação prática: o primeiro termo é a rotação do trecho maciço de aço; o segundo termo é a rotação do trecho composto, tratando a rigidez do trecho composto como a soma
dos dois materiais (essa soma é a rigidez eficaz do conjunto coaxial).
Passo 5
Unidades e conversões (muito importante para a prova):
- O torque dado é
. Para trabalhar com em polegadas ( ) e em psi (ou ksi), converta:
-
está dado em . Lembre-se que . Assim, por exemplo,
se você preferir trabalhar em
. (Mas é comum manter
em
e expressar
em
e
em
. Apenas seja consistente.)
- Procedimento numérico para a prova (passo a passo quando tiver dimensões):
- Converter
para . - Calcular
dos componentes com as fórmulas do Passo 3. - Calcular
. - Usar as fórmulas do Passo 3 para obter
, , , . - Calcular
com a fórmula do Passo 4 (somando as rotações de cada trecho). Se a seção maciça também for de aço com raio igual ao tubo externo, basta usar apropriado.
- Converter
- Dica de prova: como
, pequenas diferenças nos raios alteram muito e ; sempre verifique se os dados do enunciado estão em polegadas ou milímetros.
Passo 6
Resumo e conclusão prática (sem inventar dados):
- Eu expliquei todas as fórmulas e mostrei passo a passo como chegar ao ângulo em
, às tensões e às deformações quando as dimensões sejam conhecidas. - Porém, com os dados que você me enviou aqui não há valores numéricos de raios/diâmetros nem comprimentos dos trechos; portanto não é possível calcular numericamente:
- o ângulo de torção em
, - o cisalhamento máximo no latão e no aço,
- a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço.
- o ângulo de torção em
Se você me passar os valores dos raios (ou diâmetros) das seções e os comprimentos
e
(ou uma figura com essas medidas), eu faço a conta completa passo a passo e te passo os números finais prontos para a prova.
Resposta
Não é possível calcular numericamente o ângulo de torção, o cisalhamento máximo e a deformação por cisalhamento máxima porque as dimensões (raios/diâmetros das seções e comprimentos dos trechos) não foram fornecidas.