\hline 5 &
5.38. O eixo de acionamento de um automóvel consiste em um tubo de aço com tensão de cisalhamento admissível de \tau_{\text {adm }} =8 \mathrm{ksi}. Supondo que o diâmetro externo seja 2,5 pol e o motor produza 200 hp quando o eixo gira a 1.140 \mathrm{rev} / \mathrm{min}, determinar a espessura mínima requerida para a parede do eixo.
Resp.: 0,174 in
\

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a espessura mínima da parede de um eixo tubular (tubo) de aço, sabendo que o material admite tensão de cisalhamento máxima \tau_{\text{adm}}=8\\ \text{ksi}. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\tau_{\text{adm}}=8\\ \text{ksi}=8{,}000\\ \text{lbf}/\text{in}^2,\\\ &\text{diâmetro externo } d_o=2{,}5\\ \text{in},\\\ &\text{potência } P=200\\ \text{hp},\\\ &\text{velocidade } N=1{,}140\\ \text{rev/min}. \end{aligned}âê
O objetivo final é achar a espessura da parede t do tubo, onde o diâmetro interno é d_i=d_o-2t. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Primeiro preciso obter o torque transmitido pelo eixo a partir da potência e da velocidade de rotação. A relação entre potência, torque e velocidade angular é
P = T\,\omega,
onde P é potência, T é torque e \omega é velocidade angular em rad/min. A velocidade angular em rad/min é
\omega = 2\pi N.
Vou converter P para unidades compatíveis (lbf·in por minuto). Sabendo que 1\\ \text{hp}=33\,000\\ \text{ft}\cdot\text{lbf}/\text{min} e 1\\ \text{ft}=12\\ \text{in}, temos
P = 200\\ \text{hp} = 200\cdot 33\,000\\ \frac{\text{ft}\cdot\text{lbf}}{\text{min}} = 200\cdot 33\,000\cdot 12\\ \frac{\text{in}\cdot\text{lbf}}{\text{min}}.
O torque é então
T=\frac{P}{\omega}=\frac{200\cdot 33\,000\cdot 12}{2\pi\cdot 1{,}140}\\ \text{in}\cdot\text{lbf}.

Passo 3

Faço as contas numéricas do torque passo a passo:
200\cdot 33\,000\cdot 12 = 79\,200\,000\\ \frac{\text{in}\cdot\text{lbf}}{\text{min}},
\omega = 2\pi\cdot 1{,}140 \approx 2\pi\cdot 1{,}140 = 2\pi\cdot 1{,}140 \approx 7{,}164{,}83585798\times 10^{-3}\\ \text{(rad/min)}\times 10^6\\ \text{(observe que uso o valor numérico direto abaixo)}.é
Calculemos diretamente:
T=\frac{79\,200\,000}{2\pi\cdot 1{,}140}\\ \text{in}\cdot\text{lbf}\approx 11\,056{,}1\\ \text{in}\cdot\text{lbf}.
(Arredondei para uma casa decimal; o importante é manter precisão suficiente.)

Passo 4

Agora uso a fórmula da tensão cisalhante máxima em um eixo circular oco submetido à torção. A tensão máxima na superfície externa é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é o raio externo e J é o momento polar de inércia da seção transversal. Para um tubo (diâmetros externo e interno d_o e d_i):
c=\frac{d_o}{2},\qquad J=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right).
Substituindo,
\tau_{\max}=\frac{T\,(d_o/2)}{\dfrac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right)} =\frac{16\,T\,d_o}{\pi\left(d_o^4-d_i^4\right)}.
Para garantir segurança tomamos \tau_{\max}=\tau_{\text{adm}}. Assim:
\tau_{\text{adm}}=\frac{16\,T\,d_o}{\pi\left(d_o^4-d_i^4\right)}.

Passo 5

Isolo d_i^4 na expressão anterior:
d_o^4-d_i^4=\frac{16\,T\,d_o}{\pi\,\tau_{\text{adm}}} \quad\Rightarrow\quad d_i^4=d_o^4-\frac{16\,T\,d_o}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}.
Agora substituo os valores numéricos (todos em polegadas e lbf para consistência):
d_o^4=(2{,}5)^4=39{,}0625\\ \text{in}^4,
\frac{16\,T\,d_o}{\pi\,\tau_{\text{adm}}} = \frac{16\cdot 11\,056{,}1\cdot 2{,}5}{\pi\cdot 8\,000}.
Calculemos o numerador e denominador:
16\cdot 11\,056{,}1\cdot 2{,}5 = 442\,243{,}999\\ (\text{aprox.}),
\pi\cdot 8\,000 \approx 25\,132{,}741.
Logo
\frac{16\,T\,d_o}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}\approx \frac{442\,244}{25\,132{,}741}\approx 17{,}598.
Portanto
d_i^4 \approx 39{,}0625 - 17{,}598 = 21{,}4645\\ \text{in}^4.

Passo 6

Encontro d_i tirando a raiz quarta de d_i^4. Faço em dois passos (duas raízes quadradas):
\sqrt{21{,}4645}\approx 4{,}6336,
\sqrt{4{,}6336}\approx 2{,}1517.
Logo
d_i\approx 2{,}1517\\ \text{in}.

Passo 7

A espessura da parede t é a metade da diferença entre diâmetros externo e interno:
t=\frac{d_o-d_i}{2}=\frac{2{,}5-2{,}1517}{2}\approx \frac{0{,}3483}{2}\approx 0{,}1742\\ \text{in}.
Arredondando ao milésimo típico de projeto, obtemos t\approx 0{,}174\\ \text{in}. Dá para ficar tranquilo: o valor bate com a resposta informada.

Resposta

0,174\\ \text{in}

Exercícios relacionados