Uma barra prismática colocada em um plano horizontal mede 5 metros. Calcule o alongamento da barra quando for suspensa por uma extremidade. Dados:
. Resposta:
Passo 1
O problema pede que calculemos o alongamento de uma barra prismática quando ela é suspensa por uma extremidade (ou seja, fica vertical e suporta o próprio peso). Informações fornecidas:
(comprimento da barra),
(módulo de Young),
(peso específico, que vale
).
Pergunta: qual é o alongamento causado pelo peso próprio da barra?
Pergunta: qual é o alongamento
Passo 2
Vamos entender o que acontece e montar a equação diferencial que leva ao alongamento total. Pense numa seção da barra a uma distância
medida a partir da extremidade suspensa (topo) no sentido para baixo. A porção da barra abaixo dessa seção tem comprimento
e, portanto, pesa
, onde
é a área da secção transversal. Esse peso é a força axial (tração) que atua na seção em
. Assim:
A tensão axial naquela seção é a força dividida pela área:
Pela lei de Hooke para deformação elástica (válida para pequenas deformações), a deformação longitudinal
é
A deformação local
é a razão entre alongamento local
e o comprimento elementar
:
O alongamento total
é a integral de
ao longo de toda a barra, de
(extremidade suspensa) até
(extremidade livre). Logo:
Passo 3
Calcule a integral explicitamente. Como
e
são constantes, ficam fora da integral:
Avalie a integral:
Portanto a expressão final em termos das grandezas é:
Observação importante (útil para prova): a área da seção
cancelou-se durante a dedução, ou seja, para uma barra prismática de seção constante o alongamento devido ao próprio peso não depende da área transversal — só depende de
,
e
.
Passo 4
Substitua os valores numéricos. Primeiro coloque as unidades no sistema SI:
Agora calcule
:
Calcule
:
Logo
Passo 5
Converta para milímetros (mais prático para alongamentos pequenos):
, então
Arredondando de forma adequada (três casas significativas) obtemos
. Dá pra ver que o alongamento é muito pequeno — isso é típico: barras de aço de alguns metros alongam micrômetros sob o próprio peso.