Uma barra prismática colocada em um plano horizontal mede 5 metros. Calcule o alongamento da barra quando for suspensa por uma extremidade. Dados: \mathrm{E}=205 \mathrm{GPa}, \gamma=78480 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}. Resposta: \Delta \mathrm{L}= 4,785 \times 10^{\prime 3} \mathrm{~mm}

Passo 1

O problema pede que calculemos o alongamento de uma barra prismática quando ela é suspensa por uma extremidade (ou seja, fica vertical e suporta o próprio peso). Informações fornecidas:
\;L=5\\ \mathrm{m} (comprimento da barra),
\;E=205\\ \mathrm{GPa} (módulo de Young),
\;\gamma=78480\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3} (peso específico, que vale \rho g).
Pergunta: qual é o alongamento \Delta L causado pelo peso próprio da barra?

Passo 2

Vamos entender o que acontece e montar a equação diferencial que leva ao alongamento total. Pense numa seção da barra a uma distância \;x medida a partir da extremidade suspensa (topo) no sentido para baixo. A porção da barra abaixo dessa seção tem comprimento \;L-x e, portanto, pesa \;\gamma A (L-x), onde \;A é a área da secção transversal. Esse peso é a força axial (tração) que atua na seção em x. Assim:
T(x)=\gamma A (L-x).
A tensão axial naquela seção é a força dividida pela área:
\sigma(x)=\frac{T(x)}{A}=\gamma (L-x).
Pela lei de Hooke para deformação elástica (válida para pequenas deformações), a deformação longitudinal \varepsilon(x) é
\varepsilon(x)=\frac{\sigma(x)}{E}=\frac{\gamma (L-x)}{E}.
A deformação local \varepsilon(x) é a razão entre alongamento local d\ell e o comprimento elementar dx:
d\ell=\varepsilon(x)\,dx=\frac{\gamma (L-x)}{E}\,dx.
O alongamento total \Delta L é a integral de d\ell ao longo de toda a barra, de x=0 (extremidade suspensa) até x=L (extremidade livre). Logo:
\Delta L=\int_{0}^{L}\frac{\gamma (L-x)}{E}\,dx.

Passo 3

Calcule a integral explicitamente. Como \gamma e E são constantes, ficam fora da integral:
\Delta L=\frac{\gamma}{E}\int_{0}^{L}(L-x)\,dx.
Avalie a integral:
\int_{0}^{L}(L-x)\,dx=\left[Lx-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{L}=L^{2}-\frac{L^{2}}{2}=\frac{L^{2}}{2}.
Portanto a expressão final em termos das grandezas é:
\Delta L=\frac{\gamma L^{2}}{2E}.
Observação importante (útil para prova): a área da seção A cancelou-se durante a dedução, ou seja, para uma barra prismática de seção constante o alongamento devido ao próprio peso não depende da área transversal — só depende de \gamma, L e E.

Passo 4

Substitua os valores numéricos. Primeiro coloque as unidades no sistema SI:
E=205\\ \mathrm{GPa}=205\times 10^{9}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}, \qquad \gamma=78480\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}, \qquad L=5\\ \mathrm{m}.
Agora calcule \gamma L^{2}:
\gamma L^{2}=78480\times 5^{2}=78480\times 25=1\,962\,000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
Calcule 2E:
2E=2\times 205\times 10^{9}=410\times 10^{9}=4{,}10\times 10^{11}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
Logo
\Delta L=\frac{1\,962\,000}{4{,}10\times 10^{11}}\\ \mathrm{m}=4{,}7804878\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converta para milímetros (mais prático para alongamentos pequenos): 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}, então
\Delta L=4{,}7804878\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}=4{,}7804878\times 10^{-3}\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma adequada (três casas significativas) obtemos \Delta L\approx 4{,}78\times 10^{-3}\\ \mathrm{mm}. Dá pra ver que o alongamento é muito pequeno — isso é típico: barras de aço de alguns metros alongam micrômetros sob o próprio peso.

Resposta

\Delta L=4{,}78\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}=4{,}78\times 10^{-3}\\ \mathrm{mm}

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