2^{\underline{a}} Questão: Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de tensão v(t)=170 \cos (500 t) V. A corrente eficaz que circula no circuito é igual a 4,24 \mathrm{~A}. O indutor é igual a 0,1 \mathrm{H} \mathrm{e} \mathrm{o} \mathrm{capacitor} \mathrm{igual} \mathrm{a} 66,67 \mu \mathrm{~F}. Calcular o valor do resistor e o ângulo da impedância total do circuito.

Passo 1

O enunciado dá um circuito RLC série alimentado por
v(t)=170\cos(500t)\,\text{V}
com corrente eficaz I_{\rm rms}=4{,}24\,\text{A}. Sabe-se L=0{,}1\,\text{H} e C=66{,}67\,\mu\text{F}. Queremos achar o valor do resistor R e o ângulo da impedância total \varphi. Para isso vamos usar:
  1. Cálculo das reatâncias indutiva e capacitiva.
  2. Lei de Ohm em regime senoidal: \lvert Z\rvert = V_{\rm rms}/I_{\rm rms}.
  3. Relação \lvert Z\rvert = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}.
  4. Definição de \varphi = \arctan\bigl((X_L - X_C)/R\bigr).

Passo 2

Calcular a tensão eficaz da fonte usando V_{\rm rms}=V_m/\sqrt2:
V_{\rm rms}=\frac{170}{\sqrt2}\approx120{,}21\,\text{V}.

Passo 3

Determinar as reatâncias no regime \omega=500\,\text{rad/s}:
X_L=\omega L=500\cdot0{,}1=50\,\Omega,
X_C=\frac{1}{\omega C} =\frac{1}{500\cdot66{,}67\times10^{-6}} \approx30\,\Omega.

Passo 4

Obter o módulo da impedância total pela relação entre fasores de tensão e corrente:
\lvert Z\rvert=\frac{V_{\rm rms}}{I_{\rm rms}} =\frac{120{,}21}{4{,}24}\approx28{,}34\,\Omega.

Passo 5

Da identidade \lvert Z\rvert^2=R^2+(X_L-X_C)^2, temos
R=\sqrt{\lvert Z\rvert^2-(X_L-X_C)^2} =\sqrt{(28{,}34)^2-(50-30)^2} \approx20{,}0\,\Omega.

Passo 6

Como a reatância líquida é X_L-X_C=20\,\Omega, o ângulo da impedância é
\varphi=\arctan\!\biggl(\frac{X_L-X_C}{R}\biggr) =\arctan\!\Bigl(\frac{20}{20{,}0}\Bigr) \approx45^\circ,
indicando comportamento levemente indutivo.

Resposta

R \approx20,\!0\,\Omega \varphi\approx45^\circ

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