4.8B Com auxílio do Teorema de Stokes calcule
:
(e)
;
é o bordo da superfície
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular \r
\r
com auxílio do Teorema de Stokes, onde \r
\r
e é o bordo da superfície \r
, \r
,
,
. Vamos usar \r
.
com auxílio do Teorema de Stokes, onde \r
e
Passo 2
Definindo \r
, calculamos o rotacional. Primeiro escrevemos \r
em notação componente a componente.\r
\r
\r
Como
,
,
,
,
,
, segue\r
\r
\r
Passo 3
Parametrizamos a superfície por \r
. Calculamos as derivadas parciais\r
\r
\r
e o vetor normal orientado\r
\r
\r
Passo 4
O integrando de Stokes é \r
. Substituindo
em
, obtemos
. Logo\r
\r
\r
A região de integração em
é
. Assim\r
\r
\r
Passo 5
Calculamos primeiro em
:\r
\r
\r
Depois em
:\r
\r
\r