4.8B Com auxílio do Teorema de Stokes calcule integralc P d x+Q d y+R d z :
(e) integralgamma y d x-x^2 d y+5 d z; gamma é o bordo da superfície S: r(u, v)=u i+v j+(1-u^2) k, u >= 0, v >= 0, u+v <= 1 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular \r
ointgammaP,dx+Q,dy+R,dz \r
com auxílio do Teorema de Stokes, onde \r
P=y,;Q=-x^2,;R=5 \r
e gamma é o bordo da superfície \r
S:vec r(u,v)=u,vec i+v,vec j+(1-u^2),vec k, \r
u>=0, v>=0, u+v<=1. Vamos usar \r
ointgammaFcdot dvec r=integral duplaS(nablatimes F)cdot dvec S.

Passo 2

Definindo \r
, calculamos o rotacional. Primeiro escrevemos \r
em notação componente a componente.\r
\r
\r
Como , , , , , , segue\r
\r

Passo 3

Parametrizamos a superfície por \r
. Calculamos as derivadas parciais\r
\r
\r
e o vetor normal orientado\r
\r

Passo 4

O integrando de Stokes é \r
. Substituindo em , obtemos . Logo\r
\r
\r
A região de integração em é . Assim\r
\r

Passo 5

Calculamos primeiro em :\r
\r
\r
Depois em :\r
\r

Resposta

-tfrac56

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