Calcule os limites caso existam.
lim x 0 1-cos (x^2-2 x)x^2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 01-cosl(x^2-2xr)x^2
O conteúdo envolvido é o uso da expansão de Taylor para a função cosseno perto de zero.

Passo 2

Para u pequeno vale a expansão de Taylor
cos(u)=1-u^22+o(u^2),
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1-cos(u)=u^22+o(u^2)

Passo 3

Definimos
u=x^2-2x
Quando xto0, uto0. Calculamos
u^2=(x^2-2x)^2=4x^2-4x^3+x^4

Passo 4

Usando 1-cos(u)approx u^2/2, o quociente fica
1-cos(x^2-2x)x^2 ;approx; tfrac12(4x^2-4x^3+x^4)x^2 = 4x^2-4x^3+x^42x^2 = 2-2x+x^22
Ao levar xto0, esse valor tende a 2.

Resposta

2

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