2.8D Estratégia para Testar a Convergência Na teoria estabelecemos vários critérios para testar a convergência de uma série numérica e a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
Se \lim a_{n} \neq 0 ou a sequência \left\{a_{n}\right\} é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para concluir que a série \sum a_{n} diverge;
Se a série é da forma \sum_{n=1}^{\infty} \alpha r^{n-1} ela é uma série geométrica, que converge para \alpha /(1-r) se |r|<1 e diverge se |r| \geq 1;
Se a série é da forma \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n}-b_{n+1}\right) ela é uma série de encaixe, que converge para b_{1}-\lim b_{n}, se \left\{b_{n}\right\} convergir. Se \left\{b_{n}\right\} divergir a série de encaixe também diverge;
Se a série é da forma \sum 1 / n^{p} ela é uma p-série e será convergente apenas quando p>1;
Nos outros casos tenta-se o Critério da Razão seguindo o esquema: \checkmark Teste a convergência das séries: \sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{2}{n}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série