2.8D Estratégia para Testar a Convergência Na teoria estabelecemos vários critérios para testar a convergência de uma série numérica e a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
  1. Se \lim a_{n} \neq 0 ou a sequência \left\{a_{n}\right\} é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para concluir que a série \sum a_{n} diverge;
  2. Se a série é da forma \sum_{n=1}^{\infty} \alpha r^{n-1} ela é uma série geométrica, que converge para \alpha /(1-r) se |r|<1 e diverge se |r| \geq 1;
  3. Se a série é da forma \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n}-b_{n+1}\right) ela é uma série de encaixe, que converge para b_{1}-\lim b_{n}, se \left\{b_{n}\right\} convergir. Se \left\{b_{n}\right\} divergir a série de encaixe também diverge;
  4. Se a série é da forma \sum 1 / n^{p} ela é uma p-série e será convergente apenas quando p>1;
  5. Nos outros casos tenta-se o Critério da Razão seguindo o esquema:

    \checkmark Teste a convergência das séries:
    \sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{2}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} n!\,\Bigl(\frac{2}{n}\Bigr)^{n}.
Como os termos são positivos e envolvem fatoriais e potências, o Critério da Razão é o mais adequado.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = n!\,\Bigl(\frac{2}{n}\Bigr)^{n}.
Pelo Critério da Razão, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.

Passo 3

Começando por
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!\,\bigl(\tfrac{2}{n+1}\bigr)^{\,n+1}}{n!\,\bigl(\tfrac{2}{n}\bigr)^n} = (n+1)\,\frac{2^{\,n+1}}{(n+1)^{\,n+1}}\;\frac{n^n}{2^n} =2\,(n+1)\,\frac{n^n}{(n+1)^{\,n+1}} =2\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n}.
Logo
L=2\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n} =2\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{-n} =\frac{2}{e}.

Passo 4

Como \tfrac{2}{e}<1, o Critério da Razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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