\checkmark 2.8E Escreva os cinco primeiros termos e em seguida teste a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para escrever os cinco primeiros termos da série
\sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad\text{com}\quad a_n = \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{n!}
e, em seguida, testar a convergência dessa série. O conteúdo principal aqui é séries numéricas e o teste da razão.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{n!}.
Para encontrar os cinco primeiros termos, basta substituir n=1,2,3,4,5 em a_n.

Passo 3

Calculando termo a termo:
\begin{aligned} a_1 &= \frac{1}{1!} = 1,\\\ a_2 &= \frac{1\cdot3}{2!} = \frac{3}{2},\\\ a_3 &= \frac{1\cdot3\cdot5}{3!} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2},\\\ a_4 &= \frac{1\cdot3\cdot5\cdot7}{4!} = \frac{105}{24} = \frac{35}{8},\\\ a_5 &= \frac{1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9}{5!} = \frac{945}{120} = \frac{63}{8}. \end{aligned}

Passo 4

Para testar a convergência, usamos o teste da razão.
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\bigl(1\cdot3\cdots(2n-1)\cdot(2n+1)\bigr)/(n+1)!} {\bigl(1\cdot3\cdots(2n-1)\bigr)/n!} = \frac{2n+1}{n+1}
e, portanto,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+1} = 2.
Como esse limite é maior que 1, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
1,\;\frac{3}{2},\;\frac{5}{2},\;\frac{35}{8},\;\frac{63}{8}
e a série diverge, pois \lim_{n\to\infty}a_{n+1}/a_n=2>1.

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