\checkmark 2.8E Escreva os cinco primeiros termos e em seguida teste a convergência das séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)}{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot(3 n-2)}.

Passo 1

O enunciado pede os cinco primeiros termos da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{1\cdot4\cdot7\cdots(3n-2)}
e, em seguida, testar sua convergência. Vamos identificar o termo geral a_n e usar o teste da razão para investigar convergência.

Passo 2

Primeiro escrevemos o termo geral
a_n = \frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{1\cdot4\cdot7\cdots(3n-2)} =\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n(2k)}{\displaystyle\prod_{k=1}^n(3k-2)} =\frac{2^n\,n!}{\prod_{k=1}^n(3k-2)}.
Agora calculamos a_1,a_2,a_3,a_4,a_5:
a_1=\frac{2}{1}=2,\qquad a_2=\frac{2\cdot4}{1\cdot4}=2,
a_3=\frac{2\cdot4\cdot6}{1\cdot4\cdot7}=\frac{48}{28}=\frac{12}{7},
a_4=\frac{2\cdot4\cdot6\cdot8}{1\cdot4\cdot7\cdot10} =\frac{384}{280}=\frac{48}{35},
a_5=\frac{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot10}{1\cdot4\cdot7\cdot10\cdot13} =\frac{3840}{3640}=\frac{96}{91}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{2^{n+1}(n+1)!}{\prod_{k=1}^{n+1}(3k-2)}\;\Big/\;\frac{2^n n!}{\prod_{k=1}^n(3k-2)} =\frac{2\,(n+1)}{3(n+1)-2} =\frac{2(n+1)}{3n+1}.

Passo 4

Tomamos o limite da razão quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{2(n+1)}{3n+1} = \frac{2}{3}.
Como L=\tfrac{2}{3}<1, a série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

Resposta

Os cinco primeiros termos são
2,\quad 2,\quad \tfrac{12}{7},\quad \tfrac{48}{35},\quad \tfrac{96}{91},
e a série converge, pois o limite da razão é \tfrac{2}{3}<1.

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