4.8G Use a Fórmula de Gauss e estabeleça as seguintes identidades:
(a) integral triplaOmega(v De<a u+nabla u cdot nabla v) d V=integral duplapartial Omega v partial upartial nS d S.

Passo 1

O enunciado pede provar, para funções suficientemente suaves u e v num domínio OmegasubsetR^3 com fronteira partialOmega, a identidade abaixo usando a Fórmula de Gauss (Teorema da Divergência):
integral triplaOmegal(v,De<a u + nabla ucdotnabla vr),dV =integral duplapartialOmegav,partial upartial vec nS,dS
O conteúdo chave é reconhecer que o integrando volumétrico é justamente a divergência de vnabla u.

Passo 2

Calcular a divergência do campo vetorial vnabla u. Pela regra do produto para divergência:
nablacdotl(vnabla ur) = v,underbracenablacdot(nabla u)=De<a u + nabla vcdotnabla u = v,De<a u + nabla ucdotnabla v

Passo 3

Aplicar o Teorema da Divergência:
integral triplaOmeganablacdot F,dV =integral duplapartialOmega Fcdot n,dS
Escolhendo F = vnabla u, obtém-se
integral triplaOmeganablacdotl(vnabla ur),dV =integral duplapartialOmegavnabla ucdot n,dS =integral duplapartialOmegav,partial upartial vec nS,dS

Passo 4

Comparando o resultado do Passo 2 com o integrando de volume do Passo 3, vemos que
nablacdot(vnabla u) = v,De<a u + nabla ucdotnabla v,
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integral triplaOmegal(v,De<a u + nabla ucdotnabla vr),dV =integral duplapartialOmegav,partial upartial vec nS,dS

Resposta

integral triplaOmega(v,De<a u+nabla ucdotnabla v),dV =integral duplapartialOmegav,partial upartial vec nS,dS

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