Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut t=c^2 ux x ux(0, t)=0, u(pi, t)=0 u(x, 0)=sen x ut(x, 0)=0

Passo 1

O problema é a equação da onda unidimensional
utt=c^2uxx
com condições de contorno mistas
ux(0,t)=0, u(pi,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=sin x, ut(x,0)=0
O método de separação de variáveis vai nos levar a um problema de autovalores para a parte espacial e depois à expansão da condição inicial em séries das funções próprias obtidas.

Passo 2

Assumindo u(x,t)=X(x),T(t), substituímos na PDE e dividimos por c^2XT, obtendo
T''(t)c^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
Isto gera os ODEs
X''+lambda X=0, T''+c^2lambda T=0
com as C.C. X'(0)=0 e X(pi)=0. A solução geral de X é
X(x)=Acos(raizlambda,x)+Bsin(raizlambda,x),
e X'(0)=0 B=0. Então X(x)=Acos(raizlambda,x) e X(pi)=0 implica
cos(raizlambda,pi)=0 ;Longrightarrow; raizlambda,pi=(2n-1)pi2,
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lambdan=l(tfrac2n-12r)^2, Xn(x)=cos!l(tfrac2n-12xr), n=1,2,dots
e as frequências são
omegan=craizlambdan =c,(2n-1)2

Passo 3

A solução geral como série fica
u(x,t) = sumn=1^infty l[Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r] ,Xn(x)
Da condição inicial ut(x,0)=0 segue Bn=0 para todo n. Assim
u(x,t) = sumn=1^infty Ancos!l(tfracc(2n-1)2tr), cos!l(tfrac2n-12xr)

Passo 4

Para determinar An usamos
u(x,0)=sin x = sumn=1^infty Ancos!l(tfrac2n-12xr)
Pelo teorema de ortogonalidade,
An =integral0^pisin x, cos!l(tfrac2n-12xr),dx integral0^pi cos^2!l(tfrac2n-12xr),dx =2pi integral0^pisin x, cos!l(tfrac2n-12xr),dx
Chamando alpha=tfrac2n-12, usamos
sin xcos(alpha x) =tfrac12l[sin((1+alpha)x)+sin((1-alpha)x)r]
e
integral0^pisin(kx),dx =1-cos(kpi)k
Como 1pmalpha são meios-ímpares, cos((1pmalpha)pi)=0, chega-se a
integral0^pisin xcos(alpha x),dx =11-alpha^2,
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An =2pi,11-l(tfrac2n-12r)^2 =-8pi,(4n^2-4n-3) =-8pi,(2n-3)(2n+1)

Passo 5

Portanto a solução completa é
boxed u(x,t) = sumn=1^infty l[-tfrac8pi,(4n^2-4n-3)r] cos!l(tfracc,(2n-1)2,tr) cos!l(tfrac2n-12,xr)

Resposta

u(x,t) = sumn=1^infty gl( -8pi,(4n^2-4n-3) gr), cos!l(tfracc,(2n-1)2,tr), cos!l(tfrac2n-12,xr)

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