4.8G Use a Fórmula de Gauss e estabeleça as seguintes identidades:
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), vale
Aqui o conteúdo é o Teorema da Divergência, que relaciona integrals de volume de divergência a fluxos na fronteira.
Passo 2
O Teorema de Gauss afirma que, para um campo vetorial
suave em
,
onde
é o vetor normal unitário externo à superfície
.
Passo 3
Escolhemos o campo
Calculamos a divergência:
Passo 4
Aplicando o teorema de Gauss a esse
, temos
Como
, obtemos
Passo 5
Observando que o produto escalar
pode ser escrito como
, temos