4.8G Use a Fórmula de Gauss e estabeleça as seguintes identidades:
(c) vol(Omega)=13 integral duplapartial Omega||r|| cos (r, nS) d S.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), vale
vol(Omega) = 13 integral duplapartialOmega |vec r|, cosl(vec r,vec nSr) ,dS
Aqui o conteúdo é o Teorema da Divergência, que relaciona integrals de volume de divergência a fluxos na fronteira.

Passo 2

O Teorema de Gauss afirma que, para um campo vetorial F suave em Omega,
integralOmegadiv F,dV = integral duplapartialOmegaFcdotvec n,dS,
onde vec n é o vetor normal unitário externo à superfície partialOmega.

Passo 3

Escolhemos o campo
F(vec r)=vec r=(x,y,z)
Calculamos a divergência:
div F =partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z =1+1+1=3

Passo 4

Aplicando o teorema de Gauss a esse F, temos
integralOmega3,dV =integral duplapartialOmegavec rcdotvec n,dS
Como integralOmegadV=vol(Omega), obtemos
3,vol(Omega) = integral duplapartialOmegavec rcdotvec n,dS

Passo 5

Observando que o produto escalar vec rcdotvec n pode ser escrito como |vec r|cos(vec r,vec n), temos
3,vol(Omega) = integral duplapartialOmega|vec r|cosl(vec r,vec nSr),dS ;Longrightarrow; vol(Omega) = 13 integral duplapartialOmega|vec r|cosl(vec r,vec nSr),dS

Resposta

vol(Omega) = 13 integral duplapartialOmega |vec r|, cosl(vec r,vec nSr) ,dS

Exercícios relacionados