(a) (0,3) Defina o que vem a ser um conjunto enumerável em R.
(b) (0,5) Mostre que se A e B são conjuntos enumeráveis de R então A cup B é enumerável.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Definir o que é um conjunto enumerável em R.
  2. Mostrar que, se A e B são enumeráveis, então Acup B também é enumerável.
    Vamos usar a ideia de que “enumerável” significa “imagem de N por uma função sobrejetora”.

Passo 2

Definição de conjunto enumerável:
Um conjunto AsubseteqR é enumerável se existe uma função
fcolon Nto A
que seja sobrejetora (ou seja, para todo ain A existe ninN com f(n)=a). Em particular, isso inclui o caso em que A é finito (basta estender a sequência com valores repetidos).

Passo 3

Como A e B são enumeráveis, existem duas funções sobrejetoras
fcolon Nto A e gcolon Nto B

Passo 4

Vamos construir uma nova função
intercalando é ímpar},\ g\bigl(n/2\bigr), &se é par. \end{cases}]

Passo 5

Prova de que h é sobrejetora em Acup B:
Se xin A, então existe k tal que f(k)=x, e h(2k-1)=f(k)=x.
Se xin B, então existe k tal que g(k)=x, e h(2k)=g(k)=x.
Logo, todo elemento de Acup B é atingido por h.

Passo 6

Como existe hcolon Nto Acup B sobrejetora, concluímos que Acup B é enumerável.

Resposta

(a) Um conjunto
(b) Sejam
sobrejetoras. Definindo
í
vemos que . Portanto é enumerável.

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