Comprove que as três condições das hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor para
que satisfaça a conclusão do teorema.
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle em
e, em seguida, encontrar um
tal que
. Lembrando as hipóteses de Rolle para
em
:
-
é contínua em . -
é diferenciável em . -
.
Passo 2
Sabemos que a função seno é contínua em todo
e, portanto, contínua em
. Além disso, é conhecida a derivabilidade de
em
, logo é diferenciável em
.
Passo 3
Calculamos os valores nos extremos:
Logo,
, satisfazendo a terceira hipótese.
Passo 4
Pelas hipóteses satisfeitas, o Teorema de Rolle garante que existe algum
tal que
Como
precisamos resolver
em
.
Passo 5
A equação
tem soluções gerais
No intervalo
só cabe
.
Resposta
Um valor que satisfaz a conclusão do Teorema de Rolle é