Comprove que as três condições das hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor para c que satisfaça a conclusão do teorema.
f(x)=sen(x),[pi, 2 pi];

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função f(x)=sen(x) satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle em [pi,2pi] e, em seguida, encontrar um cin(pi,2pi) tal que f'(c)=0. Lembrando as hipóteses de Rolle para f em [a,b]:
  1. f é contínua em [a,b].
  2. f é diferenciável em (a,b).
  3. f(a)=f(b).

Passo 2

Sabemos que a função seno é contínua em todo R e, portanto, contínua em [pi,2pi]. Além disso, é conhecida a derivabilidade de sen(x) em R, logo é diferenciável em (pi,2pi).

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos:
f(pi)=sen(pi)=0, f(2pi)=sen(2pi)=0
Logo, f(pi)=f(2pi), satisfazendo a terceira hipótese.

Passo 4

Pelas hipóteses satisfeitas, o Teorema de Rolle garante que existe algum cin(pi,2pi) tal que
f'(c)=0
Como
f'(x)=ddxl(sen(x)r)=cos(x),
precisamos resolver cos(c)=0 em (pi,2pi).

Passo 5

A equação cos(c)=0 tem soluções gerais
c=pi2+kpi, kinZ
No intervalo (pi,2pi) só cabe c=tfrac3pi2.

Resposta

Um valor que satisfaz a conclusão do Teorema de Rolle é
c=3pi2

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