(8p.) Considere o modelo matemático para o deslocamento (em metros) de um ônibus espacial, do lançamento até a ejeção do foguete auxiliar, dado por:
Usando esse modelo, estime os valores instantâneos da velocidade e da aceleração do ônibus espacial para
segundos, considere 2 casas após a vírgula.
Passo 1
O enunciado dá o deslocamento
(em metros) do ônibus espacial em função do tempo
(em segundos):
O que é pedido:
- Estimar a velocidade instantânea do ônibus espacial em
s. - Estimar a aceleração instantânea em
s.
Ambos com duas casas decimais. Essas são as duas perguntas que vamos responder.
Passo 2
O que significa “velocidade instantânea” e como calculá-la na prova (aula rápida e prática).
- A velocidade instantânea
é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de : . - Regra básica que vamos usar (regra de potência): se temos uma função do tipo
, então sua derivada é . Se a função é um produto de uma constante por , ou seja , a derivada é vezes a derivada de : .
Agora aplicamos isso termo a termo ao polinômio.
Passo 3
Calcular a expressão simbólica da velocidade
.
Derivando cada termo:
Derivando cada termo:
Portanto
Passo 4
Avaliar
em
. Vamos calcular cada termo com cuidado e sem pular etapas.
Calculemos termo a termo:
- Primeiro termo:
Simplificando dividindo por
:
Convertendo para decimal (saber de cor:
e
):
- Segundo termo:
Fazendo a divisão (longa aproximação):
.
Logo
Logo
- Terceiro termo:
Agora somamos (atenção ao sinal do segundo termo que é subtraído):
Primeiro
.
Somando com :
Somando com
Arredondando para duas casas decimais (regra: olhar a terceira casa decimal, aqui 2 < 5):
Passo 5
Agora a aceleração: definição e derivação.
- A aceleração instantânea
é a derivada da velocidade, ou seja a segunda derivada de : .
A partir de, derivamos termo a termo:
Portanto
Passo 6
Avaliar
em
.
Calculemos termo a termo:
- Primeiro termo:
Simplificando dividindo por
:
Convertendo para decimal (sabendo que
):
.
Logo o primeiro termo é .
Logo o primeiro termo é
- Segundo termo:
Já calculamos anteriormente. Note que . Assim
Agora subtraímos:
Arredondando para duas casas decimais (a terceira casa é 0,0… a terceira decimal é 0; ou olhando as duas primeiras casas decimais 0{,}10 seguida de 0):
Passo 7
Resumo e verificação rápida (motivação para a prova):
- Fizemos derivadas usando a regra de potência e fator constante.
- Converti frações exatamente onde dava e aproximei as divisões com precisão suficiente para garantir os dois dígitos decimais finais corretos.
- Valores finais concordam com as ordens de grandeza esperadas (velocidade algumas dezenas de m/s e aceleração pequena em m/s²), então está coerente — agora respira, você conseguiu!