(8p.) Considere o modelo matemático para o deslocamento (em metros) de um ônibus espacial, do lançamento até a ejeção do foguete auxiliar, dado por:
s(t)=\frac{31}{31250} t^{3}-\frac{86}{9357} t^{2}+\frac{1799}{50} t-\frac{307}{3267}
Usando esse modelo, estime os valores instantâneos da velocidade e da aceleração do ônibus espacial para t=20 segundos, considere 2 casas após a vírgula.

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento s(t) (em metros) do ônibus espacial em função do tempo t (em segundos):
s(t)=\frac{31}{31250} t^{3}-\frac{86}{9357} t^{2}+\frac{1799}{50} t-\frac{307}{3267}
O que é pedido:
  • Estimar a velocidade instantânea do ônibus espacial em t=20 s.
  • Estimar a aceleração instantânea em t=20 s.
    Ambos com duas casas decimais. Essas são as duas perguntas que vamos responder.

Passo 2

O que significa “velocidade instantânea” e como calculá-la na prova (aula rápida e prática).
  • A velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de s(t): v(t)=s'(t).
  • Regra básica que vamos usar (regra de potência): se temos uma função do tipo t^{n}, então sua derivada é n\,t^{n-1}. Se a função é um produto de uma constante c por t^{n}, ou seja c\,t^{n}, a derivada é c vezes a derivada de t^{n}: c\cdot n\,t^{n-1}.
    Agora aplicamos isso termo a termo ao polinômio s(t).

Passo 3

Calcular a expressão simbólica da velocidade v(t)=s'(t).
Derivando cada termo:
\begin{aligned} \frac{d}{dt}\!\left(\frac{31}{31250}t^3\right) &= \frac{31}{31250}\cdot 3 t^2 = \frac{93}{31250}t^2,\\[6pt] \frac{d}{dt}\!\left(-\frac{86}{9357}t^2\right) &= -\frac{86}{9357}\cdot 2 t = -\frac{172}{9357}t,\\[6pt] \frac{d}{dt}\!\left(\frac{1799}{50}t\right) &= \frac{1799}{50},\\[6pt] \frac{d}{dt}\!\left(-\frac{307}{3267}\right) &= 0. \end{aligned}
Portanto
v(t)=s'(t)=\frac{93}{31250}t^{2}-\frac{172}{9357}t+\frac{1799}{50}.]

Passo 4

Avaliar v(t) em t=20. Vamos calcular cada termo com cuidado e sem pular etapas.
v(20)=\frac{93}{31250}\cdot 20^{2}-\frac{172}{9357}\cdot 20+\frac{1799}{50}.
Calculemos termo a termo:
  1. Primeiro termo:
\frac{93}{31250}\cdot 20^{2}=\frac{93}{31250}\cdot 400=\frac{37200}{31250}.
Simplificando dividindo por 50:
\frac{37200}{31250}=\frac{744}{625}.
Convertendo para decimal (saber de cor: 1/625=0,0016 e 744\cdot 0,0016=1,1904):
\frac{744}{625}=1{,}1904.
  1. Segundo termo:
\frac{172}{9357}\cdot 20=\frac{3440}{9357}.
Fazendo a divisão (longa aproximação): 3440\div 9357\approx 0{,}36763877.
Logo
\frac{3440}{9357}\approx 0{,}36763877.
  1. Terceiro termo:
\frac{1799}{50}=35{,}98.
Agora somamos (atenção ao sinal do segundo termo que é subtraído):
v(20)\approx 1{,}1904 - 0{,}36763877 + 35{,}98.
Primeiro 1{,}1904-0{,}36763877=0{,}82276123.
Somando com 35{,}98:
v(20)\approx 36{,}80276123.
Arredondando para duas casas decimais (regra: olhar a terceira casa decimal, aqui 2 < 5):
v(20)\approx 36{,}80\\ \text{m/s}.

Passo 5

Agora a aceleração: definição e derivação.
  • A aceleração instantânea a(t) é a derivada da velocidade, ou seja a segunda derivada de s: a(t)=v'(t)=s''(t).
    A partir de v(t)=\frac{93}{31250}t^{2}-\frac{172}{9357}t+\frac{1799}{50}, derivamos termo a termo:
\begin{aligned} \frac{d}{dt}\!\left(\frac{93}{31250}t^{2}\right) &= \frac{93}{31250}\cdot 2 t = \frac{186}{31250}t = \frac{93}{15625}t,\\[6pt] \frac{d}{dt}\!\left(-\frac{172}{9357}t\right) &= -\frac{172}{9357},\\[6pt] \frac{d}{dt}\!\left(\frac{1799}{50}\right) &= 0. \end{aligned}
Portanto
a(t)=s''(t)=\frac{93}{15625}t-\frac{172}{9357}.]

Passo 6

Avaliar a(t) em t=20.
a(20)=\frac{93}{15625}\cdot 20-\frac{172}{9357}.
Calculemos termo a termo:
  1. Primeiro termo:
\frac{93}{15625}\cdot 20=\frac{1860}{15625}.
Simplificando dividindo por 5:
\frac{1860}{15625}=\frac{372}{3125}.
Convertendo para decimal (sabendo que 1/3125=0{,}00032): 372\cdot 0{,}00032=0{,}11904.
Logo o primeiro termo é 0{,}11904.
  1. Segundo termo:
    Já calculamos anteriormente \frac{3440}{9357}\approx 0{,}36763877. Note que \frac{172}{9357}=\frac{3440}{9357}\cdot\frac{1}{20}. Assim
\frac{172}{9357}\approx \frac{0{,}36763877}{20}=0{,}0183819385.
Agora subtraímos:
a(20)\approx 0{,}11904 - 0{,}0183819385 = 0{,}1006580615.
Arredondando para duas casas decimais (a terceira casa é 0,0… a terceira decimal é 0; ou olhando as duas primeiras casas decimais 0{,}10 seguida de 0):
a(20)\approx 0{,}10\\ \text{m/s}^2.

Passo 7

Resumo e verificação rápida (motivação para a prova):
  • Fizemos derivadas usando a regra de potência e fator constante.
  • Converti frações exatamente onde dava e aproximei as divisões com precisão suficiente para garantir os dois dígitos decimais finais corretos.
  • Valores finais concordam com as ordens de grandeza esperadas (velocidade algumas dezenas de m/s e aceleração pequena em m/s²), então está coerente — agora respira, você conseguiu!

Resposta

\;v(20)=36{,}80\\ \text{m/s}
\;a(20)=0{,}10\\ \text{m/s}^2

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