(18p.) Considere a função
, responda cada um dos itens abaixo:
a) Determine o(s) ponto(s) crítico(s).
b) Analise os intervalos de crescimento e decrescimento, e determine esses intervalos;
c) Determine o(s) ponto(s) de inflexão, se existirem.
d) Analise a concavidade, e indique os intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo.
e) Faça um esboço do gráfico.
f) Determine
ponto(s) extremo(s).
a) Determine o(s) ponto(s) crítico(s).
b) Analise os intervalos de crescimento e decrescimento, e determine esses intervalos;
c) Determine o(s) ponto(s) de inflexão, se existirem.
d) Analise a concavidade, e indique os intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo.
e) Faça um esboço do gráfico.
f) Determine
Passo 1
Você me deu a função
e pediu os itens (a) a (f). Vou listar claramente o que cada item solicita:
a) Encontrar os pontos críticos (valores de onde a derivada primeira é zero ou não existe).
b) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
c) Determinar os pontos de inflexão (se houver).
d) Analisar a concavidade e indicar os intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo.
e) Fazer um esboço do gráfico (vou indicar os pontos importantes e o comportamento).
f) Determinar os pontos extremos (máximos e mínimos locais).
a) Encontrar os pontos críticos (valores de
b) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
c) Determinar os pontos de inflexão (se houver).
d) Analisar a concavidade e indicar os intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo.
e) Fazer um esboço do gráfico (vou indicar os pontos importantes e o comportamento).
f) Determinar os pontos extremos (máximos e mínimos locais).
As informações relevantes que temos: a expressão explícita de
. Não há singularidades (a função é polinomial, logo deriváveis em todo
).
Passo 2
Primeiro vamos achar a derivada primeira porque ela diz onde a função cresce ou decresce e onde há pontos críticos. Lembra: a derivada primeira
indica a inclinação da reta tangente; se
a função está crescendo e se
está decrescendo. Calculemos
aplicando regra padrão (derivada de
é
):
Agora fatoramos para localizar as raízes:
Como a função é polinomial,
existe para todo
. Assim, os pontos críticos são as soluções de
, ou seja
e
. Vou calcular os valores de
nesses pontos depois.
Passo 3
Para analisar concavidade e pontos de inflexão, e também para checar extremos pelo teste da segunda derivada, precisamos de
. A derivada segunda é a derivada de
:
Pontos de inflexão potenciais são onde
ou onde
não existe. Aqui
existe sempre, então resolvemos
Vou também calcular os valores de
nos pontos importantes:
para ajudar no esboço.
Calculemos
,
,
e
:
Resumo dos pontos calculados:
,
,
,
.
Passo 4
Agora determinamos os intervalos de crescimento e decrescimento usando o sinal de
.
Fazemos um pequeno estudo de sinal: as raízes são
e
. Como é um produto de dois fatores lineares:
- Para
: ambos e são negativos, produto positivo . - Para
: e , produto negativo . - Para
: ambos positivos, produto positivo .
Portanto:
- A função é crescente em
e em . - A função é decrescente em
.
Usando o teste da primeira derivada, em
a derivada passa de positiva para negativa (cresce → decresce), então
é um ponto de máximo local. Em
a derivada passa de negativa para positiva (decresce → cresce), então
é um ponto de mínimo local. Vou confirmar pelo teste da segunda derivada também.
Passo 5
Aplicando o teste da segunda derivada para confirmar extremos locais:
Assim, confirmamos:
- Máximo local em
com valor . - Mínimo local em
com valor .
Passo 6
Agora a concavidade global: como
,
- Para
: → concavidade para baixo (côncava para baixo). - Para
: → concavidade para cima (côncava para cima). - Em
: e a concavidade muda de baixo para cima, logo é um ponto de inflexão.
Passo 7
Esboço do gráfico (descrição passo a passo para desenhar à mão; não posso desenhar aqui, então descrevo como ficar):
- Comporte-se como um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo
: quando tem e quando tem . - Marque os pontos-chave: intercepto
(ponto ), máximo local , ponto de inflexão , mínimo local . - Entre
e : função crescente e côncava para baixo; sobe vindo de até o ponto . - Entre
e : função decrescente; até ela é côncava para baixo, depois (após ) passa a ser côncava para cima; desce até o mínimo em . - Para
: função crescente e côncava para cima, sobe para .
Se você desenhar, trace uma curva suave que atenda essas características: subir até
, descer com inflexão em
, atingir
e subir novamente.
Passo 8
Resumo e resposta dos extremos finais:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
.
Resposta
a) Pontos críticos:
e
.
b) Cresce em e em
. Decresce em
.
c) Ponto(s) de inflexão: , com coordenada
.
d) Concavidade para baixo em ; concavidade para cima em
.
e) Esboço: polinômio cúbico com coeficiente líder positivo; pontos chave , máximo local
, inflexão
, mínimo local
; cresce até
, decresce até
(com inflexão em
), e cresce para
quando
.
f) Pontos extremos: máximo local em e mínimo local em
.
b) Cresce em
c) Ponto(s) de inflexão:
d) Concavidade para baixo em
e) Esboço: polinômio cúbico com coeficiente líder positivo; pontos chave
f) Pontos extremos: máximo local em