(18p.) Considere a função y(x)=\frac{1}{3} x^{3}-2 x^{2}+3 x+1, responda cada um dos itens abaixo:
a) Determine o(s) ponto(s) crítico(s).
b) Analise os intervalos de crescimento e decrescimento, e determine esses intervalos;
c) Determine o(s) ponto(s) de inflexão, se existirem.
d) Analise a concavidade, e indique os intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo.
e) Faça um esboço do gráfico.
f) Determine o(\mathrm{~s}) ponto(s) extremo(s).

Passo 1

Você me deu a função
y(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x+1
e pediu os itens (a) a (f). Vou listar claramente o que cada item solicita:
a) Encontrar os pontos críticos (valores de x onde a derivada primeira é zero ou não existe).
b) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
c) Determinar os pontos de inflexão (se houver).
d) Analisar a concavidade e indicar os intervalos onde a concavidade é para cima e onde é para baixo.
e) Fazer um esboço do gráfico (vou indicar os pontos importantes e o comportamento).
f) Determinar os pontos extremos (máximos e mínimos locais).
As informações relevantes que temos: a expressão explícita de y(x). Não há singularidades (a função é polinomial, logo deriváveis em todo \mathbb{R}).

Passo 2

Primeiro vamos achar a derivada primeira porque ela diz onde a função cresce ou decresce e onde há pontos críticos. Lembra: a derivada primeira \,y'(x)\, indica a inclinação da reta tangente; se \,y'(x)>0\, a função está crescendo e se \,y'(x)<0\, está decrescendo. Calculemos \,y'(x)\, aplicando regra padrão (derivada de x^{n} é n x^{n-1}):
y'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x+1\right)=x^{2}-4x+3.
Agora fatoramos para localizar as raízes:
y'(x)=x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Como a função é polinomial, y'(x) existe para todo x. Assim, os pontos críticos são as soluções de y'(x)=0, ou seja x=1 e x=3. Vou calcular os valores de y nesses pontos depois.

Passo 3

Para analisar concavidade e pontos de inflexão, e também para checar extremos pelo teste da segunda derivada, precisamos de \,y''(x)\,. A derivada segunda é a derivada de y'(x):
y''(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-4x+3)=2x-4.
Pontos de inflexão potenciais são onde y''(x)=0 ou onde y'' não existe. Aqui y'' existe sempre, então resolvemos
2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Vou também calcular os valores de y nos pontos importantes: x=0,1,2,3 para ajudar no esboço.
Calculemos y(0), y(1), y(2) e y(3):
y(0)=\frac{1}{3}\cdot 0^{3}-2\cdot0^{2}+3\cdot0+1=1.
y(1)=\frac{1}{3}\cdot1^{3}-2\cdot1^{2}+3\cdot1+1=\frac{1}{3}-2+3+1=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}.
y(2)=\frac{1}{3}\cdot 8-2\cdot4+3\cdot2+1=\frac{8}{3}-8+6+1=\frac{8}{3}-1=\frac{5}{3}.
y(3)=\frac{1}{3}\cdot27-2\cdot9+3\cdot3+1=9-18+9+1=1.
Resumo dos pontos calculados: (0,1), (1,\tfrac{7}{3}), (2,\tfrac{5}{3}), (3,1).

Passo 4

Agora determinamos os intervalos de crescimento e decrescimento usando o sinal de y'(x)=(x-1)(x-3).
Fazemos um pequeno estudo de sinal: as raízes são x=1 e x=3. Como é um produto de dois fatores lineares:
  • Para x<1: ambos (x-1) e (x-3) são negativos, produto positivo \Rightarrow y'(x)>0.
  • Para 1<x<3: (x-1)>0 e (x-3)<0, produto negativo \Rightarrow y'(x)<0.
  • Para x>3: ambos positivos, produto positivo \Rightarrow y'(x)>0.
Portanto:
  • A função é crescente em \left(-\infty,1\right) e em \left(3,\infty\right).
  • A função é decrescente em \left(1,3\right).
Usando o teste da primeira derivada, em x=1 a derivada passa de positiva para negativa (cresce → decresce), então x=1 é um ponto de máximo local. Em x=3 a derivada passa de negativa para positiva (decresce → cresce), então x=3 é um ponto de mínimo local. Vou confirmar pelo teste da segunda derivada também.

Passo 5

Aplicando o teste da segunda derivada para confirmar extremos locais:
y''(1)=2\cdot1-4=-2<0 \quad\Rightarrow\\ \text{concavidade para baixo em }x=1\Rightarrow \text{máximo local.}á
y''(3)=2\cdot3-4=2>0 \quad\Rightarrow\\ \text{concavidade para cima em }x=3\Rightarrow \text{mínimo local.}í
Assim, confirmamos:
  • Máximo local em x=1 com valor y(1)=\tfrac{7}{3}.
  • Mínimo local em x=3 com valor y(3)=1.

Passo 6

Agora a concavidade global: como y''(x)=2x-4,
  • Para x<2: y''(x)=2x-4<0 → concavidade para baixo (côncava para baixo).
  • Para x>2: y''(x)=2x-4>0 → concavidade para cima (côncava para cima).
  • Em x=2: y''(2)=0 e a concavidade muda de baixo para cima, logo (2,\tfrac{5}{3}) é um ponto de inflexão.

Passo 7

Esboço do gráfico (descrição passo a passo para desenhar à mão; não posso desenhar aqui, então descrevo como ficar):
  • Comporte-se como um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo \left(\tfrac{1}{3}>0\right): quando x\to -\infty tem y\to -\infty e quando x\to\infty tem y\to\infty.
  • Marque os pontos-chave: intercepto y(0)=1 (ponto (0,1)), máximo local (1,\tfrac{7}{3})\approx(1,2{,}333), ponto de inflexão (2,\tfrac{5}{3})\approx(2,1{,}667), mínimo local (3,1).
  • Entre -\infty e x=1: função crescente e côncava para baixo; sobe vindo de -\infty até o ponto (1,\tfrac{7}{3}).
  • Entre x=1 e x=3: função decrescente; até x=2 ela é côncava para baixo, depois (após x=2) passa a ser côncava para cima; desce até o mínimo em (3,1).
  • Para x>3: função crescente e côncava para cima, sobe para +\infty.
Se você desenhar, trace uma curva suave que atenda essas características: subir até (1,7/3), descer com inflexão em (2,5/3), atingir (3,1) e subir novamente.

Passo 8

Resumo e resposta dos extremos finais:
  • Máximo local em \left(1,\tfrac{7}{3}\right).
  • Mínimo local em \left(3,1\right).

Resposta

a) Pontos críticos: x=1 e x=3.
b) Cresce em \left(-\infty,1\right) e em \left(3,\infty\right). Decresce em \left(1,3\right).
c) Ponto(s) de inflexão: x=2, com coordenada \left(2,\tfrac{5}{3}\right).
d) Concavidade para baixo em \left(-\infty,2\right); concavidade para cima em \left(2,\infty\right).
e) Esboço: polinômio cúbico com coeficiente líder positivo; pontos chave (0,1), máximo local (1,\tfrac{7}{3}), inflexão (2,\tfrac{5}{3}), mínimo local (3,1); cresce até x=1, decresce até x=3 (com inflexão em x=2), e cresce para +\infty quando x\to+\infty.
f) Pontos extremos: máximo local em \left(1,\tfrac{7}{3}\right) e mínimo local em \left(3,1\right).

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