(8p.) Uma empresa deseja fabricar suas próprias caixas, cada uma com um volume de
, para armazenar porcas e parafusos. A caixa possui o formato de um prisma de base quadrada, com parte superior e inferior de espessura dupla. Considerando que o custo do papelão é de RS 0,30 por
, quais devem ser as dimensões da caixa para que o custo de produção dessa caixa seja o menor possível?
Passo 1
O enunciado pede que encontremos as dimensões da caixa que minimizam o custo de produção, dadas as seguintes informações:
\n
\n
- O volume desejado é
.
\n - A caixa é um prisma com base quadrada: seja
o comprimento do lado da base (em metros) e a altura (em metros).
\n - A parte superior (tampa) e a parte inferior (fundo) têm espessura dupla — isso significa que, para fins de custo de material, cada uma dessas duas faces usa o equivalente a duas camadas de papelão, ou seja, material equivalente a
vezes sua área.
\n - O custo do papelão é proporcional à área de material usado (R$
por ), portanto minimizar o custo é equivalente a minimizar a área total de papelão utilizado.
\n
Objetivo concreto: determinare que tornam o custo (ou, equivalentemente, a área de material) mínimo, respeitando a restrição do volume.
Passo 2
Definimos matematicamente as quantidades envolvidas.
\n
\n
- Volume do prisma de base quadrada:
Aqui
é a área da base (já que a base é um quadrado de lado
) e
é a altura; o produto dá o volume.
\n
Como , temos a restrição
\n
Como
Passo 3
Agora vamos escrever a área total de papelão usado, levando em conta a espessura dupla do topo e do fundo.
\n
\n
- Área lateral (faces verticais): há 4 faces, cada uma com área
, logo área lateral total .
\n - Área do topo (tampa):
, mas com espessura dupla usa material .
\n - Área do fundo:
, também com espessura dupla usa material .
\n
Somando tudo, a área total de material (área efetiva que determina o custo) é
Explicação curta: os dois
vêm do topo e do fundo com espessura dupla; as laterais apenas
vez cada.
Passo 4
Substituímos a restrição
na expressão da área para obter uma função univariada em
.
\n
\n
Simplificando o número:
Aqui
dá a área total de material em
em função de
. Minimizar custo equivale a minimizar
.
Passo 5
Para encontrar o mínimo de
(com
), usamos cálculo: derivamos e igualamos a zero para achar pontos críticos.
\n
Derivada de :
\n
Derivada de
Explicação: a derivada de
é
; multiplicamos pelos coeficientes.
Passo 6
Igualamos
para achar candidatos a mínimo:
Reorganizando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por
:
Portanto
Passo 7
Calculamos numericamente
:
Se preferir em centímetros:
.
\n
Agora obtemos pela restrição do volume:
\n
Agora obtemos
Calculando numericamente:
ou seja
.
Passo 8
Verificação de mínimo (checar segunda derivada): derivada segunda de
é
Observamos que para
temos
, portanto a função é convexa e o ponto crítico encontrado é um mínimo global. Conclusão: as dimensões acima realmente minimizam a área (e então o custo).
Passo 9
Interpretação final e dica de prova: a altura é aproximadamente o dobro do lado da base (
numericamente neste caso), e a técnica usada foi:
\n
\n
- traduzir restrições e custo em uma função a minimizar;
\n - reduzir a uma variável (substituição usando a restrição do volume);
\n - derivar, igualar a zero e checar segunda derivada.
\n
Isso é suficiente em prova: escreva claramente a expressão da área que considera a espessura dupla, derive e mostre que é mínimo pelo sinal da segunda derivada.
Resposta
Lado da base:
(≈
)
\n
Altura: (≈
)
\n
Altura: