(8p.) Uma empresa deseja fabricar suas próprias caixas, cada uma com um volume de 0,02 m^{3}, para armazenar porcas e parafusos. A caixa possui o formato de um prisma de base quadrada, com parte superior e inferior de espessura dupla. Considerando que o custo do papelão é de RS 0,30 por m^{2}, quais devem ser as dimensões da caixa para que o custo de produção dessa caixa seja o menor possível?

Passo 1

O enunciado pede que encontremos as dimensões da caixa que minimizam o custo de produção, dadas as seguintes informações:
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  • O volume desejado é \,V=0,02\\ \mathrm{m^{3}}\,.
    \n
  • A caixa é um prisma com base quadrada: seja \,x\, o comprimento do lado da base (em metros) e \,h\, a altura (em metros).
    \n
  • A parte superior (tampa) e a parte inferior (fundo) têm espessura dupla — isso significa que, para fins de custo de material, cada uma dessas duas faces usa o equivalente a duas camadas de papelão, ou seja, material equivalente a 2 vezes sua área.
    \n
  • O custo do papelão é proporcional à área de material usado (R$ 0,30 por \mathrm{m^{2}}), portanto minimizar o custo é equivalente a minimizar a área total de papelão utilizado.
    \n
    Objetivo concreto: determinar \,x\, e \,h\, que tornam o custo (ou, equivalentemente, a área de material) mínimo, respeitando a restrição do volume.

Passo 2

Definimos matematicamente as quantidades envolvidas.
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  • Volume do prisma de base quadrada:
V = x^{2}h.
Aqui \,x^{2}\, é a área da base (já que a base é um quadrado de lado \,x\,) e \,h\, é a altura; o produto dá o volume.
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Como \,V=0,02\,, temos a restrição
h = \frac{V}{x^{2}} = \frac{0,02}{x^{2}}.

Passo 3

Agora vamos escrever a área total de papelão usado, levando em conta a espessura dupla do topo e do fundo.
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  • Área lateral (faces verticais): há 4 faces, cada uma com área \,x\cdot h, logo área lateral total \,4xh.
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  • Área do topo (tampa): \,x^{2}, mas com espessura dupla usa material \,2x^{2}.
    \n
  • Área do fundo: \,x^{2}, também com espessura dupla usa material \,2x^{2}.
    \n
    Somando tudo, a área total de material (área efetiva que determina o custo) é
A(x,h)=4xh + 2x^{2} + 2x^{2} = 4xh + 4x^{2}.
Explicação curta: os dois 2x^{2} vêm do topo e do fundo com espessura dupla; as laterais apenas 1 vez cada.

Passo 4

Substituímos a restrição h=\dfrac{0,02}{x^{2}} na expressão da área para obter uma função univariada em \,x.
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A(x)=4x\left(\frac{0,02}{x^{2}}\right)+4x^{2}=\frac{4\cdot 0,02}{x}+4x^{2}.
Simplificando o número:
A(x)=\frac{0,08}{x}+4x^{2}.
Aqui \,A(x)\, dá a área total de material em \mathrm{m^{2}} em função de \,x\,. Minimizar custo equivale a minimizar \,A(x)\,.

Passo 5

Para encontrar o mínimo de \,A(x)\, (com x>0), usamos cálculo: derivamos e igualamos a zero para achar pontos críticos.
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Derivada de \,A(x)\,:
A'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{0,08}{x}+4x^{2}\right) = -\frac{0,08}{x^{2}}+8x.
Explicação: a derivada de \,x^{-1}\, é -x^{-2}; multiplicamos pelos coeficientes.

Passo 6

Igualamos A'(x)=0 para achar candidatos a mínimo:
-\frac{0,08}{x^{2}}+8x=0.
Reorganizando:
8x = \frac{0,08}{x^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}:
8x^{3}=0,08.
Dividindo por 8:
x^{3}=\frac{0,08}{8}=0,01.
Portanto
x=\sqrt[3]{0,01}.

Passo 7

Calculamos numericamente \,x\,:
x=\sqrt[3]{0,01}\approx 0,21544\\ \mathrm{m}.
Se preferir em centímetros: \,x\approx 21,544\\ \mathrm{cm}.
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Agora obtemos \,h\, pela restrição do volume:
h=\frac{0,02}{x^{2}}=\frac{0,02}{(\sqrt[3]{0,01})^{2}}.
Calculando numericamente:
h\approx 0,43089\\ \mathrm{m},
ou seja \,h\approx 43,089\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Verificação de mínimo (checar segunda derivada): derivada segunda de \,A(x)\, é
A''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{0,08}{x^{2}}+8x\right) = \frac{0,16}{x^{3}}+8.
Observamos que para x>0 temos A''(x)>0, portanto a função é convexa e o ponto crítico encontrado é um mínimo global. Conclusão: as dimensões acima realmente minimizam a área (e então o custo).

Passo 9

Interpretação final e dica de prova: a altura é aproximadamente o dobro do lado da base ( h\approx 2x numericamente neste caso), e a técnica usada foi:
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  • traduzir restrições e custo em uma função a minimizar;
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  • reduzir a uma variável (substituição usando a restrição do volume);
    \n
  • derivar, igualar a zero e checar segunda derivada.
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    Isso é suficiente em prova: escreva claramente a expressão da área que considera a espessura dupla, derive e mostre que é mínimo pelo sinal da segunda derivada.

Resposta

Lado da base: x\approx 0,21544\\ \mathrm{m} (≈ 21,54\\ \mathrm{cm})
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Altura: h\approx 0,43089\\ \mathrm{m} (≈ 43,09\\ \mathrm{cm})

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