A 900 K , a reação \mathrm{C}_{2} \{H}_{6} \rightarrow \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}+\mathrm{H}_{2} tem \Delta \mathrm{G}^{\circ}=5350 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}. Se uma mistura com 10 \% de \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}, 10 \% \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} e 80 \% de \mathrm{N}_{2} for alimentada ao reator a 900 K e 1 atm , calcule:
a) A composição de equilíbrio
b) A conversão no equilíbrio
c) As concentrações inicial e no equilíbrio para o etano

Passo 1

O enunciado dá a reação gasosa
\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6} \longrightarrow \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{4} + \mathrm{H}_{2}
a T=900\;\mathrm{K} e P=1\;\mathrm{atm}, com \Delta G^{\circ}=5350\;\mathrm{cal/mol}. A alimentação é uma mistura ideal com 10\% de \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{4}, 10\% de \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6} e 80\% de \mathrm{N}_{2}. Precisamos calcular:
a) composição de equilíbrio (frações molares)
b) conversão de etano
c) concentrações inicial e de equilíbrio de \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}.

Passo 2

Vamos obter K_{p} da reação usando
K_{p} = \exp\bigl(-\tfrac{\Delta G^{\circ}}{R\,T}\bigr).
Tomando R=1,987\;\mathrm{cal/(mol\,K)} e T=900\;\mathrm{K}:
\tfrac{\Delta G^{\circ}}{R\,T} = \frac{5350}{1{,}987\times900}\approx2{,}992, \quad K_{p}=\exp(-2{,}992)\approx0{,}0502.

Passo 3

Fazemos balanço com a extensão de reação \xi, tomando base 1 mol de alimentação:
inicialmente \,n_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}}=0{,}10,\;n_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{4}}=0{,}10,\;n_{\mathrm{H}_{2}}=0,\;n_{\mathrm{N}_{2}}=0{,}80.
em equilíbrio
n_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}}=0{,}10-\xi,\quad n_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{4}}=0{,}10+\xi,\quad n_{\mathrm{H}_{2}}=\xi,\quad n_{\mathrm{N}_{2}}=0{,}80, \quad n_{\text{tot}}=1+\xi.
As pressões parciais valem P_i = \frac{n_i}{n_{\rm tot}}\,P e
K_{p} =\frac{P_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{4}}\;P_{\mathrm{H}_{2}}}{P_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}}} =\frac{\bigl(0{,}10+\xi\bigr)\,\xi}{\bigl(0{,}10-\xi\bigr)\,(1+\xi)}.

Passo 4

Igualando a expressão de K_{p} ao valor numérico:
0{,}0502 = \frac{\xi\,(0{,}10+\xi)}{(0{,}10-\xi)(1+\xi)}.
Isso leva à equação quadrática
1{,}05\,\xi^{2}+0{,}145\,\xi-0{,}005=0,
cuja solução física é \displaystyle \xi\approx0{,}0286\;\mathrm{mol}.

Passo 5

Os números de mol em equilíbrio são
n_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}}=0{,}10-0{,}0286=0{,}0714,\quad n_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{4}}=0{,}1286,\quad n_{\mathrm{H}_{2}}=0{,}0286,\quad n_{\mathrm{N}_{2}}=0{,}80, n_{\rm tot}=1{,}0286. As frações molares em equilíbrio são
y_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}}=\tfrac{0{,}0714}{1{,}0286}=0{,}0694,\quad y_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{4}}=0{,}1250,\quad y_{\mathrm{H}_{2}}=0{,}0278,\quad y_{\mathrm{N}_{2}}=0{,}7778.
A conversão de \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6} é
X = \frac{\xi}{n_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6},0}} =\frac{0{,}0286}{0{,}10}=0{,}286\quad(28{,}6\%).

Passo 6

As concentrações de \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6} vêm de
C_i = y_i\,\frac{P}{R\,T}.
Para P=1\;\mathrm{atm}, R=0{,}08206\;\mathrm{L\,atm/(mol\,K)}, T=900\;\mathrm{K}:
C_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6},0} =0{,}10\;\frac{1}{0{,}08206\times900} \approx1{,}35\times10^{-3}\;\mathrm{mol/L},
C_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6},\rm eq} =0{,}0694\;\frac{1}{0{,}08206\times900} \approx9{,}40\times10^{-4}\;\mathrm{mol/L}.

Resposta

a) Composição de equilíbrio (frações molares): \displaystyle y_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}}=0{,}0694,\; y_{\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{4}}=0{,}1250,\; y_{\mathrm{H}_{2}}=0{,}0278,\; y_{\mathrm{N}_{2}}=0{,}7778.
b) Conversão de \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}: 28{,}6\%.
c) Concentrações de \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}:
inicial C_{0}=1{,}35\times10^{-3}\;\mathrm{mol/L}, \nequilíbrio C_{\rm eq}=9{,}40\times10^{-4}\;\mathrm{mol/L}.

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