A 900 K , a reação \mathrm{C}_{2} \{H}_{6} \rightarrow \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}+\mathrm{H}_{2} tem \Delta \mathrm{G}^{\circ}=5350 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}. Se uma mistura com 10 \% de \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4}, 10 \% \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} e 80 \% de \mathrm{N}_{2} for alimentada ao reator a 900 K e 1 atm , calcule:
Determine a conversão de equilíbrio para a alimentação original se a pressão fosse 10 atm ?
Admita que a desidrogenação do etano é a única reação que ocorre e que a mistura dos gases se comporta como ideal.

Passo 1

O enunciado fornece a reação de desidrogenação do etano
\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6 \;\longrightarrow\; \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4 \;+\;\mathrm{H}_2
a 900 K, com \Delta G^\circ = 5350\;\mathrm{cal/mol}. A alimentação consiste em 10\% de \mathrm{C}_2\mathrm{H}_4, 10\% de \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6 e 80\% de \mathrm{N}_2 a 1 atm. Queremos a conversão de equilíbrio quando a pressão do reator é 10 atm. Vamos usar termodinâmica química definindo o K_p e resolvendo balanço de matéria em equilíbrio.

Passo 2

Para calcular o equilíbrio termodinâmico, usamos
\Delta G^\circ = -R\,T\,\ln K_p
onde R=1{,}987\;\mathrm{cal/(mol\cdot K)} e T=900 K. Logo
\ln K_p = -\frac{5350}{1{,}987\times900}\approx -2{,}992
K_p = \exp(-2{,}992)\approx 5{,}01\times10^{-2}

Passo 3

Adotamos base de 1 kmol de alimentação: \;n_{0,\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6}=0{,}1, \;n_{0,\mathrm{C}_2\mathrm{H}_4}=0{,}1, \;n_{0,\mathrm{H}_2}=0, \;n_{0,\mathrm{N}_2}=0{,}8.
Se a extensão de reação em equilíbrio for x (kmol), então as mols em equilíbrio são \,n_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6}=0{,}1 - x,\;n_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_4}=0{,}1 + x,\;n_{\mathrm{H}_2}=x,\;n_{\mathrm{N}_2}=0{,}8
e o total
n_{\rm tot}=1 + x.

Passo 4

Para gases ideais, o coeficiente de equilíbrio é
K_p=\frac{p_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_4}\;p_{\mathrm{H}_2}}{p_{\mathrm{C}_2\mathrm{H}_6}}
com p_i = y_i\,P e y_i = n_i/n_{\rm tot}. Substituindo e simplificando, chega-se à relação
K_p = P\;\frac{x\,(0{,}1 + x)}{(1 + x)\,(0{,}1 - x)}.
Em P=10 atm e K_p=5{,}01\times10^{-2}, obtemos
\frac{x\,(0{,}1 + x)}{(1 + x)\,(0{,}1 - x)} \;=\;\frac{K_p}{P} \;=\;\frac{5{,}01\times10^{-2}}{10} \;=\;5{,}01\times10^{-3}.

Passo 5

Resolvendo numericamente a equação
x\,(0{,}1 + x) = 5{,}01\times10^{-3}\,(1 + x)\,(0{,}1 - x)
vemos que a raiz física é x\approx0{,}00458 kmol. A conversão de \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6 é
\frac{x}{0{,}1} \approx 0{,}0458 \quad\Longrightarrow\quad 4{,}58\%.

Resposta

A conversão de equilíbrio em 10 atm é aproximadamente 4{,}6\%.

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