9-91 For the falling oil film of Prob. 9-90, generate an expression for the volume flow rate per unit width of oil falling down the wall (V / L) as a function of \rho, \mu, h, and g. Calculate (V / L) for an oil film of thickness 10 mm with \rho= 888 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} and \mu=0.80 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
Pede: gerar uma expressão para o volume de fluxo por unidade de largura da lâmina de óleo caindo pela parede, isto é V/L, em função de \rho, \mu, h e g; e calcular numericamente V/L para dados numéricos.
Modelagem e equação de balanço (explicando cada termo).
Considere um sistema bidimensional com a parede vertical em y=0 e a superfície livre em y=h. Tome u(y) a velocidade na direção vertical (para baixo).
Condições físicas usadas (explicadas): escoamento estacionário e completamente desenvolvido, viscosidade constante, superfície livre sem tensão tangencial (livre de cisalhamento) e ausência de gradiente de pressão ao longo da direção do escoamento (pressão atmosférica na superfície).
Escrevendo o balanço de momento na direção vertical (forma reduzida do Navier–Stokes para este caso), temos: a derivada da tensão viscosa mais a força de volume da gravidade devem se equilibrar com o gradiente de pressão. Em fórmula:
0 = -\frac{dp}{dx} + \frac{d}{dy}\!\left(\mu\frac{du}{dy}\right) + \rho g.
Como não há variação de pressão ao longo da parede livre: \dfrac{dp}{dx}=0. Como \mu é constante, a equação simplifica para
\mu\frac{d^2u}{dy^2} + \rho g = 0.
Aqui:
\mu\frac{d^2u}{dy^2} representa o gradiente de tensão viscosa (força viscosa por unidade de volume);
\rho g é a força de volume devido à gravidade (peso do fluido por unidade de volume).
Passo 3
Integração da equação diferencial (primeira integração) e aplicação da condição de superfície livre sem cisalhamento.
Integre uma vez \mu \dfrac{d^2u}{dy^2} + \rho g = 0 em relação a y:
\mu\frac{du}{dy} = -\rho g\,y + C_1,
onde C_1 é constante de integração.
Condição no topo (y=h): superfície livre sem tensão tangencial implica \left.\dfrac{du}{dy}\right|_{y=h}=0. Substituindo:
Explicação: a velocidade cresce desde zero na parede até um máximo abaixo da superfície livre, e a dependência quadrática em y é típica de um equilíbrio entre gravidade (força que empurra) e viscosidade (resistência).
Passo 5
Cálculo do fluxo volumétrico por unidade de largura integrando o perfil de velocidade.
O volume por unidade de largura (fluxo volumétrico por unidade de comprimento na direção perpendicular à página) é
Unidade coerente: \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (que representa m^3/s por metro de largura).
Ordem de grandeza razoável: uma lâmina fina h=1\\ \mathrm{cm} e óleo relativamente viscoso dá um fluxo pequeno por unidade de largura, como esperado — está tudo consistente.
Você conseguiu! Mesmo saindo do zero, a ideia central é sempre: escrever o balanço de momento, integrar com as condições de contorno e integrar o perfil para obter o fluxo.