9-91 For the falling oil film of Prob. 9-90, generate an expression for the volume flow rate per unit width of oil falling down the wall (V / L) as a function of \rho, \mu, h, and g. Calculate (V / L) for an oil film of thickness 10 mm with \rho= 888 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} and \mu=0.80 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: gerar uma expressão para o volume de fluxo por unidade de largura da lâmina de óleo caindo pela parede, isto é V/L, em função de \rho, \mu, h e g; e calcular numericamente V/L para dados numéricos.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • \rho = 888\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
    • \mu = 0{,}80\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s})
    • h = 10\\ \mathrm{mm} = 0{,}01\\ \mathrm{m}
    • g = 9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2

Passo 2

Modelagem e equação de balanço (explicando cada termo).
  • Considere um sistema bidimensional com a parede vertical em y=0 e a superfície livre em y=h. Tome u(y) a velocidade na direção vertical (para baixo).
  • Condições físicas usadas (explicadas): escoamento estacionário e completamente desenvolvido, viscosidade constante, superfície livre sem tensão tangencial (livre de cisalhamento) e ausência de gradiente de pressão ao longo da direção do escoamento (pressão atmosférica na superfície).
  • Escrevendo o balanço de momento na direção vertical (forma reduzida do Navier–Stokes para este caso), temos: a derivada da tensão viscosa mais a força de volume da gravidade devem se equilibrar com o gradiente de pressão. Em fórmula:
0 = -\frac{dp}{dx} + \frac{d}{dy}\!\left(\mu\frac{du}{dy}\right) + \rho g.
  • Como não há variação de pressão ao longo da parede livre: \dfrac{dp}{dx}=0. Como \mu é constante, a equação simplifica para
\mu\frac{d^2u}{dy^2} + \rho g = 0.
Aqui:
  • \mu\frac{d^2u}{dy^2} representa o gradiente de tensão viscosa (força viscosa por unidade de volume);
  • \rho g é a força de volume devido à gravidade (peso do fluido por unidade de volume).

Passo 3

Integração da equação diferencial (primeira integração) e aplicação da condição de superfície livre sem cisalhamento.
  • Integre uma vez \mu \dfrac{d^2u}{dy^2} + \rho g = 0 em relação a y:
\mu\frac{du}{dy} = -\rho g\,y + C_1,
onde C_1 é constante de integração.
  • Condição no topo ( y=h): superfície livre sem tensão tangencial implica \left.\dfrac{du}{dy}\right|_{y=h}=0. Substituindo:
\mu\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=h} = 0 = -\rho g\,h + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \rho g\,h.
  • Assim o gradiente de velocidade é
\frac{du}{dy} = \frac{\rho g}{\mu}(h - y).

Passo 4

Segunda integração e aplicação da condição de não deslizamento na parede.
  • Integre novamente para obter u(y):
u(y) = \frac{\rho g}{\mu}\left(hy - \frac{y^2}{2}\right) + C_2.
  • Condição na parede ( y=0): não deslizamento implica u(0)=0. Assim C_2=0.
  • Portanto a distribuição de velocidade é
u(y) = \frac{\rho g}{\mu}\left(hy - \frac{y^2}{2}\right).
Explicação: a velocidade cresce desde zero na parede até um máximo abaixo da superfície livre, e a dependência quadrática em y é típica de um equilíbrio entre gravidade (força que empurra) e viscosidade (resistência).

Passo 5

Cálculo do fluxo volumétrico por unidade de largura integrando o perfil de velocidade.
  • O volume por unidade de largura (fluxo volumétrico por unidade de comprimento na direção perpendicular à página) é
\frac{V}{L}=\int_{0}^{h} u(y)\,dy.
  • Substituindo u(y) e integrando:
\frac{V}{L}=\int_{0}^{h} \frac{\rho g}{\mu}\left(hy - \frac{y^2}{2}\right)dy = \frac{\rho g}{\mu}\left[\frac{h y^2}{2} - \frac{y^3}{6}\right]_0^h.
  • Avaliando em y=h:
\frac{V}{L}=\frac{\rho g}{\mu}\left(\frac{h^3}{2} - \frac{h^3}{6}\right) = \frac{\rho g}{\mu}\cdot\frac{h^3}{3}.
  • Portanto a expressão pedida é
\boxed{\displaystyle \frac{V}{L}=\frac{\rho\,g\,h^{3}}{3\mu}.}
Observação sobre unidades: \rho g h^3/(3\mu) tem dimensões de \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, que é volumétrico por unidade de largura (m^3/s por m = m^2/s).

Passo 6

Substituição numérica passo a passo.
  • Liste novamente os valores em unidades SI:
    • \rho=888\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
    • g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2
    • h=0{,}01\\ \mathrm{m}
    • \mu=0{,}80\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s})
  • Calcule h^3:
h^3 = (0{,}01\\ \mathrm{m})^3 = 1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3.
  • Calcule o numerador \rho g h^3:
\rho g h^3 = 888 \times 9{,}81 \times 1{,}0\times10^{-6} = 0{,}00871128\\ (\text{si}).
  • Calcule o denominador 3\mu:
3\mu = 3\times 0{,}80 = 2{,}4\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}).
  • Dividindo:
\frac{V}{L}=\frac{0{,}00871128}{2{,}4} \approx 0{,}0036297\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Arredondando de forma adequada (três algarismos significativos):
\frac{V}{L}\approx 3{,}63\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 7

Verificação rápida e encorajamento.
  • Unidade coerente: \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (que representa m^3/s por metro de largura).
  • Ordem de grandeza razoável: uma lâmina fina h=1\\ \mathrm{cm} e óleo relativamente viscoso dá um fluxo pequeno por unidade de largura, como esperado — está tudo consistente.
  • Você conseguiu! Mesmo saindo do zero, a ideia central é sempre: escrever o balanço de momento, integrar com as condições de contorno e integrar o perfil para obter o fluxo.

Resposta

\dfrac{V}{L}=\dfrac{\rho\,g\,h^{3}}{3\mu}=3{,}63\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}

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