9-83 Consider the following steady, two-dimensional, incompressible velocity field: \vec{V}=(u, v)=\left(-a x^{2}\right) \vec{i}+(2 a x y) \vec{j}, where a is a constant. Calculate the pressure as a function of x and y.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Velocidade bidimensional, estacionária e incompressível:
\vec{V}=(u,v)=\bigl(-a x^{2},\;2a x y\bigr),
onde a é constante.
  • Pergunta: calcular a pressão como função de x e y, isto é, encontrar p(x,y).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A velocidade é estacionária (não depende de t).
  • O fluxo é incompressível, então a divergência de \vec V deve ser zero (vou verificar isso mais adiante).
  • Não foi especificado se o fluido é viscoso ou não, nem se existem forças de volume (por exemplo gravidade) atuando. Isso é importante: a equação que relaciona velocidade e pressão depende exatamente de se incluímos termos inerciais, viscosos e forças de volume. Vou explicitar e justificar a escolha do modelo nas etapas seguintes.

Passo 2

Escolha do método e equações fundamentais (explicação didática)
  • Para ligar velocidade e pressão em escoamentos incompressíveis estacionários usamos as equações do movimento (Navier–Stokes estacionárias). A forma geral por unidade de volume é
\rho\bigl(\vec V\cdot\nabla\bigr)\vec V = -\nabla p + \mu\nabla^{2}\vec V + \rho\vec f,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (constante),
  • \bigl(\vec V\cdot\nabla\bigr)\vec V é o termo convectivo (aceleração advectiva), responsável pelas acelerações devido ao próprio movimento do fluido,
  • -\nabla p é o gradiente de pressão (força por unidade de volume),
  • \mu\nabla^{2}\vec V é o termo viscoso (com \mu viscosidade dinâmica),
  • \rho\vec f representa forças de volume por unidade de massa (por ex. gravidade) multiplicadas por \rho.
  • Se o problema não especifica viscosidade nem forças de volume, o procedimento “padrão” é escrever as equações gerais e ver se, com \mu=0 e \vec f=\vec0 (caso invíscido sem forças de volume), é possível encontrar p(x,y). Se não for possível, devemos concluir que falta informação (força de volume ou condição adicional) ou que o campo de velocidade dado não é compatível com essas hipóteses.
  • Vou então:
    1. Verificar a incompressibilidade.
    2. Calcular explicitamente os termos convectivos \bigl(\vec V\cdot\nabla\bigr)\vec V.
    3. Calcular \nabla^{2}\vec V (termo viscoso).
    4. Escrever as componentes x e y das equações de movimento e tentar integrar para obter p(x,y).
    5. Verificar compatibilidade (condição de integrabilidade dos gradientes de p). Se houver contradição, concluir o que falta (ex.: força de volume).

Passo 3

Verificação de incompressibilidade
  • A condição de incompressibilidade é \nabla\cdot\vec V=0.
    Calculo:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} =\frac{\partial(-a x^{2})}{\partial x}+\frac{\partial(2a x y)}{\partial y} =-2a x + 2a x = 0.
  • Conclusão: o campo é de fato incompressível. Boa notícia.

Passo 4

Cálculo do termo convectivo \bigl(\vec V\cdot\nabla\bigr)\vec V (passo a passo)
  • Por definição, para componentes,
\bigl(\vec V\cdot\nabla\bigr)u = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}, \qquad \bigl(\vec V\cdot\nabla\bigr)v = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}.
  • Derivadas parciais necessárias: \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial(-a x^{2})}{\partial x}=-2a x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0,
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial(2a x y)}{\partial x}=2a y,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial(2a x y)}{\partial y}=2a x.
  • Agora os termos convectivos: u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} =(-a x^{2})(-2a x)+(2a x y)(0) =2a^{2}x^{3}.
u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} =(-a x^{2})(2a y)+(2a x y)(2a x) =-2a^{2}x^{2}y + 4a^{2}x^{2}y =2a^{2}x^{2}y.
  • Logo,
\bigl(\vec V\cdot\nabla\bigr)\vec V = \bigl(2a^{2}x^{3},\;2a^{2}x^{2}y\bigr).

Passo 5

Cálculo do termo viscoso \nabla^{2}\vec V (Laplaciano componente a componente)
  • Lembrando \nabla^{2}u=\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}.
  • Para u=-a x^{2}: \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial(-2a x)}{\partial x}=-2a,\qquad \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0,então \nabla^{2}u=-2a.
  • Para v=2a x y: \frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}=0,\qquad \frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=0,então \nabla^{2}v=0.
  • Logo,
\nabla^{2}\vec V = (-2a,\;0).

Passo 6

Escrever as equações de momento por componentes (forma geral) e preenchê‑las
  • Equações estacionárias por componentes (incluindo viscosidade \mu e força de volume por unidade de massa \vec f=(f_x,f_y)):
\rho\bigl(\vec V\cdot\nabla\bigr)u = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\nabla^{2}u + \rho f_x,
\rho\bigl(\vec V\cdot\nabla\bigr)v = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu\nabla^{2}v + \rho f_y.
  • Substituindo os termos calculados:
    • componente x:
    \rho\cdot 2a^{2}x^{3} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu(-2a) + \rho f_x,ou reorganizando, \frac{\partial p}{\partial x} = -2\rho a^{2}x^{3} + 2\mu a + \rho(-f_x).(Escrevo como forma usada a seguir; note que \rho f_x aparece com sinal positivo no lado direito original.)
    • componente y:
    \rho\cdot 2a^{2}x^{2}y = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu\cdot 0 + \rho f_y,ou \frac{\partial p}{\partial y} = -2\rho a^{2}x^{2}y + \rho(-f_y).
Observação importante: se o problema assumir explicitamente \mu=0 (fluido invíscido) e \vec f=\vec0 (sem forças de volume), então
\frac{\partial p}{\partial x} = -2\rho a^{2}x^{3},\qquad \frac{\partial p}{\partial y} = -2\rho a^{2}x^{2}y.
Vou analisar a compatibilidade desses dois gradientes — é um passo chave.

Passo 7

Tentativa de integrar para obter p(x,y) e verificação da compatibilidade (caso \mu=0 e \vec f=\vec0)
  • Integrando \dfrac{\partial p}{\partial x} = -2\rho a^{2}x^{3} em relação a x (tratando y como constante) obtemos
p(x,y)= -2\rho a^{2}\int x^{3}\,dx + G(y) = -\frac{\rho a^{2}}{2}x^{4} + G(y),
onde G(y) é função arbitrária de y (constante de integração em x).
  • Integrando \dfrac{\partial p}{\partial y} = -2\rho a^{2}x^{2}y em relação a y (tratando x como constante) obtemos
p(x,y)= -2\rho a^{2}\int x^{2}y\,dy + H(x) = -\rho a^{2}x^{2}y^{2} + H(x),
onde H(x) é função arbitrária de x.
  • Para que exista uma única função p(x,y) que satisfaça ambas expressões, as duas formas devem coincidir, ou seja deve haver G(y) e H(x) tais que
-\frac{\rho a^{2}}{2}x^{4} + G(y) \equiv -\rho a^{2}x^{2}y^{2} + H(x).
  • Diferenciando essa igualdade em x e y e comparando, uma condição necessária de compatibilidade é que as segundas derivadas mistas coincidam:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right) =\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial p}{\partial y}\right).
  • Calculemos explicitamente as derivadas mistas a partir das expressões obtidas:
    • Da expressão para \partial p/\partial x = -2\rho a^{2}x^{3} obtemos
    \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)=0.
    • Da expressão para \partial p/\partial y = -2\rho a^{2}x^{2}y obtemos
    \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial p}{\partial y}\right) =\frac{\partial}{\partial x}\!\bigl(-2\rho a^{2}x^{2}y\bigr) =-4\rho a^{2}x y.
  • Essas duas quantidades não são iguais (a menos que a=0 ou x y=0 em toda a região considerada). Portanto, não existe função p(x,y) que satisfaça simultaneamente essas duas equações de gradiente quando \mu=0 e \vec f=\vec0.

Passo 8

Interpretação física e consequência lógica (o que significa a incompatibilidade)
  • O fato de as derivadas mistas não coincidirem significa que os gradientes obtidos das equações de momento não são conservativos: não existe um único potencial escalar p(x,y) cujo gradiente seja aquele conjunto de componentes, sob as hipóteses consideradas ( \mu=0, \vec f=\vec0).
  • Em termos físicos: o campo de velocidade fornecido gera termos convectivos que exigem um certo gradiente de pressão para equilibrá‑los; porém esse gradiente tem uma dependência em x e y que é incompatível, a menos que haja termos adicionais na equação (como forças de volume \rho\vec f apropriadas) que “compensem” a diferença, ou a viscosidade entre em jogo de forma específica. Como vimos, mesmo incluindo \mu não resolve a incompatibilidade geral (a presença de \mu\nabla^{2}\vec V só adiciona termos que dependem de x mas não geram a dependência mista necessária).
  • Conclusão prática: com as informações dadas (apenas \vec V e sem especificar forças de volume ou outras condições), não é possível encontrar uma única pressão p(x,y) que satisfaça as equações de movimento estacionárias do fluido (Navier–Stokes) com \vec f=\vec0. Ou seja, o problema está incompleto: é preciso especificar as forças de volume \vec f (ou outras condições) para que se possa determinar p(x,y).

Passo 9

O que poderia ser feito se uma força de volume fosse permitida (como alternativa construtiva)
  • Se admitirmos uma força de volume por unidade de massa \vec f=(f_x(x,y),f_y(x,y)) arbitrária, então as equações do Passo 6 definem as componentes:
\frac{\partial p}{\partial x} = -2\rho a^{2}x^{3} + 2\mu a + \rho(-f_x),
\frac{\partial p}{\partial y} = -2\rho a^{2}x^{2}y + \rho(-f_y).
  • Para que exista p(x,y) precisa valer a compatibilidade
\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl[-2\rho a^{2}x^{3} + 2\mu a - \rho f_x(x,y)\Bigr] = \frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl[-2\rho a^{2}x^{2}y - \rho f_y(x,y)\Bigr].
  • Isso dá uma condição que relaciona f_x e f_y. Em particular, pode‑se escolher \vec f de forma a tornar a igualdade verdadeira; então integrando uma das componentes (por exemplo a de x) obtém‑se p(x,y) até uma constante. Em outras palavras: existe uma infinidade de pressões possíveis dependendo da força de volume escolhida — por isso a força de volume deve ser especificada para determinar p unicamente.

Resumo final do raciocínio (motivacional)

  • Eu sei que é chato chegar aqui e descobrir que falta informação — mas é importante detectar isso rápido na prova: sempre cheque compatibilidade dos gradientes (derivadas mistas). Quando o campo de velocidade é dado e não aparecem nem viscosidade nem forças de volume, muitas vezes a tentativa de integrar os gradientes de pressão revela se a solução existe ou não. Aqui ela não existe sob as hipóteses mais simples ( \mu=0 e \vec f=\vec0), salvo o caso trivial a=0.
  • Se na sua prova o enunciado realmente só dá o campo de velocidade e pede a pressão, verifique se havia uma linha dizendo “assuma fluxo viscoso com viscosidade \mu” ou “inclua forças de volume \vec f”. Sem isso, a resposta correta é apontar a incompatibilidade.

Resposta

Não é possível determinar uma função p(x,y) que satisfaça as equações de movimento estacionárias para o campo \vec V=(-a x^{2},\,2a x y) assumindo ausência de forças de volume ( \vec f=\vec0) e/ou ausência de viscosidade; as componentes dos gradientes obtidos da equação de momento são incompatíveis (as derivadas mistas não coincidem), salvo o caso trivial a=0. Portanto, sem informação adicional sobre forças de volume \vec f (ou outras condições que tornem as equações compatíveis) não há uma pressão p(x,y) determinada.

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