9-83 Consider the following steady, two-dimensional, incompressible velocity field:
, where
is a constant. Calculate the pressure as a function of
and
.
Passo 1
O enunciado dá:
- Velocidade bidimensional, estacionária e incompressível:
onde
é constante.
- Pergunta: calcular a pressão como função de
e , isto é, encontrar .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A velocidade é estacionária (não depende de
). - O fluxo é incompressível, então a divergência de
deve ser zero (vou verificar isso mais adiante). - Não foi especificado se o fluido é viscoso ou não, nem se existem forças de volume (por exemplo gravidade) atuando. Isso é importante: a equação que relaciona velocidade e pressão depende exatamente de se incluímos termos inerciais, viscosos e forças de volume. Vou explicitar e justificar a escolha do modelo nas etapas seguintes.
Passo 2
Escolha do método e equações fundamentais (explicação didática)
- Para ligar velocidade e pressão em escoamentos incompressíveis estacionários usamos as equações do movimento (Navier–Stokes estacionárias). A forma geral por unidade de volume é
onde:
-
é a densidade do fluido (constante), -
é o termo convectivo (aceleração advectiva), responsável pelas acelerações devido ao próprio movimento do fluido, -
é o gradiente de pressão (força por unidade de volume), -
é o termo viscoso (com viscosidade dinâmica), -
representa forças de volume por unidade de massa (por ex. gravidade) multiplicadas por . - Se o problema não especifica viscosidade nem forças de volume, o procedimento “padrão” é escrever as equações gerais e ver se, com
e (caso invíscido sem forças de volume), é possível encontrar . Se não for possível, devemos concluir que falta informação (força de volume ou condição adicional) ou que o campo de velocidade dado não é compatível com essas hipóteses. - Vou então:
- Verificar a incompressibilidade.
- Calcular explicitamente os termos convectivos
. - Calcular
(termo viscoso). - Escrever as componentes
e das equações de movimento e tentar integrar para obter . - Verificar compatibilidade (condição de integrabilidade dos gradientes de
). Se houver contradição, concluir o que falta (ex.: força de volume).
Passo 3
Verificação de incompressibilidade
- A condição de incompressibilidade é
.
Calculo:
- Conclusão: o campo é de fato incompressível. Boa notícia.
Passo 4
Cálculo do termo convectivo
(passo a passo)
- Por definição, para componentes,
- Derivadas parciais necessárias:
- Agora os termos convectivos:
- Logo,
Passo 5
Cálculo do termo viscoso
(Laplaciano componente a componente)
- Lembrando
. - Para
: então . - Para
: então . - Logo,
Passo 6
Escrever as equações de momento por componentes (forma geral) e preenchê‑las
- Equações estacionárias por componentes (incluindo viscosidade
e força de volume por unidade de massa ):
- Substituindo os termos calculados:
- componente
:
ou reorganizando, (Escrevo como forma usada a seguir; note que aparece com sinal positivo no lado direito original.) - componente
:
ou - componente
Observação importante: se o problema assumir explicitamente
(fluido invíscido) e
(sem forças de volume), então
Vou analisar a compatibilidade desses dois gradientes — é um passo chave.
Passo 7
Tentativa de integrar para obter
e verificação da compatibilidade (caso
e
)
- Integrando
em relação a (tratando como constante) obtemos
onde
é função arbitrária de
(constante de integração em
).
- Integrando
em relação a (tratando como constante) obtemos
onde
é função arbitrária de
.
- Para que exista uma única função
que satisfaça ambas expressões, as duas formas devem coincidir, ou seja deve haver e tais que
- Diferenciando essa igualdade em
e e comparando, uma condição necessária de compatibilidade é que as segundas derivadas mistas coincidam:
- Calculemos explicitamente as derivadas mistas a partir das expressões obtidas:
- Da expressão para
obtemos
- Da expressão para
obtemos
- Da expressão para
- Essas duas quantidades não são iguais (a menos que
ou em toda a região considerada). Portanto, não existe função que satisfaça simultaneamente essas duas equações de gradiente quando e .
Passo 8
Interpretação física e consequência lógica (o que significa a incompatibilidade)
- O fato de as derivadas mistas não coincidirem significa que os gradientes obtidos das equações de momento não são conservativos: não existe um único potencial escalar
cujo gradiente seja aquele conjunto de componentes, sob as hipóteses consideradas ( , ). - Em termos físicos: o campo de velocidade fornecido gera termos convectivos que exigem um certo gradiente de pressão para equilibrá‑los; porém esse gradiente tem uma dependência em
e que é incompatível, a menos que haja termos adicionais na equação (como forças de volume apropriadas) que “compensem” a diferença, ou a viscosidade entre em jogo de forma específica. Como vimos, mesmo incluindo não resolve a incompatibilidade geral (a presença de só adiciona termos que dependem de mas não geram a dependência mista necessária). - Conclusão prática: com as informações dadas (apenas
e sem especificar forças de volume ou outras condições), não é possível encontrar uma única pressão que satisfaça as equações de movimento estacionárias do fluido (Navier–Stokes) com . Ou seja, o problema está incompleto: é preciso especificar as forças de volume (ou outras condições) para que se possa determinar .
Passo 9
O que poderia ser feito se uma força de volume fosse permitida (como alternativa construtiva)
- Se admitirmos uma força de volume por unidade de massa
arbitrária, então as equações do Passo 6 definem as componentes:
- Para que exista
precisa valer a compatibilidade
- Isso dá uma condição que relaciona
e . Em particular, pode‑se escolher de forma a tornar a igualdade verdadeira; então integrando uma das componentes (por exemplo a de ) obtém‑se até uma constante. Em outras palavras: existe uma infinidade de pressões possíveis dependendo da força de volume escolhida — por isso a força de volume deve ser especificada para determinar unicamente.
Resumo final do raciocínio (motivacional)
- Eu sei que é chato chegar aqui e descobrir que falta informação — mas é importante detectar isso rápido na prova: sempre cheque compatibilidade dos gradientes (derivadas mistas). Quando o campo de velocidade é dado e não aparecem nem viscosidade nem forças de volume, muitas vezes a tentativa de integrar os gradientes de pressão revela se a solução existe ou não. Aqui ela não existe sob as hipóteses mais simples (
e ), salvo o caso trivial . - Se na sua prova o enunciado realmente só dá o campo de velocidade e pede a pressão, verifique se havia uma linha dizendo “assuma fluxo viscoso com viscosidade
” ou “inclua forças de volume ”. Sem isso, a resposta correta é apontar a incompatibilidade.
Resposta
Não é possível determinar uma função
que satisfaça as equações de movimento estacionárias para o campo
assumindo ausência de forças de volume (
) e/ou ausência de viscosidade; as componentes dos gradientes obtidos da equação de momento são incompatíveis (as derivadas mistas não coincidem), salvo o caso trivial
. Portanto, sem informação adicional sobre forças de volume
(ou outras condições que tornem as equações compatíveis) não há uma pressão
determinada.