9-96 Repeat Prob. 9-93 for the more general case. Namely, let the inner cylinder rotate at angular velocity \omega_{i} and let the outer cylinder rotate at angular velocity \omega_{0}. All else is the same as Prob. 9-93. Generate an exact expression for velocity component u_{\theta} as a function of radius r and the other parameters in the problem. Verify that when \omega_{o}=0 your result simplifies to that of Prob. 9-93.

Passo 1

O que o problema pede e o que já nos é dado.
  • Dados geométricos (vou nomear para ficar claro): o cilindro interno tem raio a e o cilindro externo tem raio b, com 0<a<b.
  • Condições de contorno (pegas do enunciado): o cilindro interno gira com velocidade angular \omega_{i} e o cilindro externo gira com velocidade angular \omega_{o}.
  • Condição de aderência (no-slip): a velocidade tangencial do fluido encostada nas superfícies coincide com a velocidade tangencial das superfícies. Assim:
    • em r=a: u_{\theta}(a)=a\,\omega_{i},
    • em r=b: u_{\theta}(b)=b\,\omega_{o}.
  • O que pedem: determinar uma expressão exata para a componente azimutal da velocidade u_{\theta}(r) em função de r, a, b, \omega_{i} e \omega_{o}.
  • Observação pedida: verificar que, ao tomar \omega_{o}=0, a expressão reduz-se ao caso tratado no problema anterior (9-93).

Passo 2

Escolhas físicas e simplificações do problema (o porquê das hipóteses).
  • Vamos assumir escoamento estacionário, incompressível, simétrico em torno do eixo e sem dependência azimutal nem axial. Ou seja, a velocidade tem apenas componente azimutal que depende só de r: u_r=0,\qquad u_z=0,\qquad u_\theta=u_\theta(r).
  • Com essas hipóteses, não há variação em \theta nem em z, e não há velocidade radial, então as forças inerciais convectivas na equação de quantidade de movimento azimutal desaparecem. Portanto a equação de momento azimutal reduz-se a um balanço viscoso puro (para um fluido newtoniano, sem forças de corpo azimutais).

Passo 3

Escrever a equação diferencial que governa u_{\theta}(r) e justificar sua forma.
  • A equação diferencial resultante da equação de Navier–Stokes (com as hipóteses do passo anterior) para a componente azimutal é, para viscosidade dinâmica \mu, \mu\left(\frac{d^{2}u_{\theta}}{dr^{2}}+\frac{1}{r}\frac{du_{\theta}}{dr}-\frac{u_{\theta}}{r^{2}}\right)=0.
  • Explicação dos termos (intuitiva): o termo entre parênteses é exatamente o operador laplaciano em coordenadas cilíndricas aplicado à componente azimutal, ajustado para a forma da equação azimutal; como não há acelerações nem gradiente de pressão azimutal, resta apenas o efeito viscoso, que deve ser zero no regime estacionário sem fontes.
  • Dividindo por \mu (assumindo \mu\neq0) obtemos a ODE homogênea \frac{d^{2}u_{\theta}}{dr^{2}}+\frac{1}{r}\frac{du_{\theta}}{dr}-\frac{u_{\theta}}{r^{2}}=0.

Passo 4

Resolver a ODE por tentativa de solução do tipo potência u_{\theta}=r^{n}.
  • Suponha u_{\theta}=r^{n}. Então \frac{du_{\theta}}{dr}=n r^{n-1},\qquad \frac{d^{2}u_{\theta}}{dr^{2}}=n(n-1)r^{n-2}.
  • Substituindo na ODE: n(n-1)r^{n-2}+\frac{1}{r}n r^{n-1}-\frac{r^{n}}{r^{2}}=(n(n-1)+n-1)r^{n-2}=(n^{2}-1)r^{n-2}=0.
  • Assim n^{2}-1=0\Rightarrow n=\pm1. Logo as duas soluções independentes são r^{1} e r^{-1}.
  • A solução geral linear da ODE é, portanto u_{\theta}(r)=C_{1}r + C_{2}\frac{1}{r},onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 5

Aplicar as condições de contorno para determinar C_{1} e C_{2}.
  • Em r=a: u_{\theta}(a)=C_{1}a + C_{2}/a = a\,\omega_{i}. Dividindo por a, C_{1} + \frac{C_{2}}{a^{2}} = \omega_{i}. \tag{1}
  • Em r=b: u_{\theta}(b)=C_{1}b + C_{2}/b = b\,\omega_{o}. Dividindo por b, C_{1} + \frac{C_{2}}{b^{2}} = \omega_{o}. \tag{2}
  • Subtraindo (2) de (1): \frac{C_{2}}{a^{2}} - \frac{C_{2}}{b^{2}} = \omega_{i}-\omega_{o}.Colocando em evidência C_{2}: C_{2}\left(\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\right)=\omega_{i}-\omega_{o}.
  • Simplificando o fator entre parênteses: \frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}=\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}.Portanto C_{2}=\frac{a^{2}b^{2}(\omega_{i}-\omega_{o})}{b^{2}-a^{2}}.
  • Agora obter C_{1} usando (1) (ou (2)): C_{1}=\omega_{i}-\frac{C_{2}}{a^{2}} =\omega_{i}-\frac{a^{2}b^{2}(\omega_{i}-\omega_{o})}{(b^{2}-a^{2})a^{2}} =\omega_{i}-\frac{b^{2}(\omega_{i}-\omega_{o})}{b^{2}-a^{2}}.Colocando em forma combinada: C_{1}=\frac{\omega_{o}b^{2}-\omega_{i}a^{2}}{b^{2}-a^{2}}.(verificação rápida: usar (2) daria o mesmo resultado simetricamente).

Passo 6

Escrever a solução final para u_{\theta}(r) e simplificar a expressão.
  • Substituindo C_{1} e C_{2} obtidos em u_{\theta}(r)=C_{1}r + C_{2}/r u_{\theta}(r)=\frac{\omega_{o}b^{2}-\omega_{i}a^{2}}{b^{2}-a^{2}}\,r +\frac{a^{2}b^{2}(\omega_{i}-\omega_{o})}{b^{2}-a^{2}}\,\frac{1}{r}.
  • Podemos pôr em uma única fração se preferir: u_{\theta}(r)=\frac{(\omega_{o}b^{2}-\omega_{i}a^{2})\,r + a^{2}b^{2}(\omega_{i}-\omega_{o})/r}{\,b^{2}-a^{2}\,}.Ambas as formas são equivalentes; a primeira é mais direta de interpretar como soma de um termo proporcional a r e um termo proporcional a 1/r.

Passo 7

Verificação do caso \omega_{o}=0 (redução ao caso do problema anterior).
  • Tomando \omega_{o}=0 na expressão encontrada: u_{\theta}(r)=\frac{-\omega_{i}a^{2}}{b^{2}-a^{2}}\,r + \frac{a^{2}b^{2}(\omega_{i}-0)}{b^{2}-a^{2}}\,\frac{1}{r}.Fatorando \omega_{i}a^{2}/(b^{2}-a^{2}): u_{\theta}(r)=\omega_{i}a^{2}\frac{\,b^{2}/r - r\,}{b^{2}-a^{2}}.
  • Esta é exatamente a forma clássica do campo azimutal para o caso em que apenas o cilindro interno gira (o cilindro externo está fixo), que é o resultado que o problema 9-93 pede. Portanto a solução geral reduz corretamente ao caso particular.

Resposta

u_{\theta}(r)=\frac{\omega_{o}b^{2}-\omega_{i}a^{2}}{b^{2}-a^{2}}\,r +\frac{a^{2}b^{2}(\omega_{i}-\omega_{o})}{b^{2}-a^{2}}\,\frac{1}{r}.

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