92- A energia total de um corpo, que efectua o movimento oscilatório harmónico é igual a 30 \mu \mathrm{~J}; a força máxima que actua sobre o corpo é igual a 1,5 \mathrm{mN}. Escrever a equação do movimento deste corpo, se o período das oscilações for igua a 2 s e a fase inicial for igual a \pi / 3. R: \boldsymbol{x}= 0,04 \operatorname{sen}(\pi t+\pi / 3) m.

Passo 1

O enunciado pede que escrevamos a equação do movimento x(t) de um corpo que faz oscilação harmónica, usando as informações dadas. Dados fornecidos:
E = 30\\ \mu\mathrm{J},
F_{\max}=1{,}5\\ \mathrm{mN},
T = 2\\ \mathrm{s},
\varphi_0 = \frac{\pi}{3}.
Queremos obter a equação x(t) do tipo \,x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_0)\, (ou equivalente), encontrando primeiro a amplitude A e a pulsação \omega.

Passo 2

Vamos relacionar as grandezas físicas e deduzir uma fórmula para a amplitude A.
Explicação da física/matemática envolvida:
  • Numa mola (movimento harmónico simples) a energia total E é a energia potencial máxima quando a massa está na amplitude, dada por
E=\tfrac{1}{2}kA^{2},
onde k é a constante elástica da mola (unidade \mathrm{N/m}) e A é a amplitude (unidade \mathrm{m}). Aqui \tfrac{1}{2}kA^2 vem da fórmula da energia potencial elástica U(x)=\tfrac{1}{2}kx^{2}; no extremo x=A essa energia é a energia total do sistema.
  • A força restauradora é F=-kx. A magnitude máxima dessa força, quando |x|=A, é
F_{\max}=kA.
Agora combinamos as duas equações para eliminar k. Da segunda equação obtemos k=\dfrac{F_{\max}}{A}. Substituindo em E=\tfrac{1}{2}kA^{2} temos
E=\tfrac{1}{2}\!\left(\frac{F_{\max}}{A}\right)A^{2}=\tfrac{1}{2}F_{\max}A.
Desse modo isolamos A:
A=\frac{2E}{F_{\max}}.
Essa fórmula é muito útil: com a energia total e a força máxima conseguimos achar a amplitude sem precisar da massa nem de k separadamente.

Passo 3

Calcular numericamente a amplitude A, cuidando das unidades.
Primeiro converto as unidades para o sistema internacional:
E=30\\ \mu\mathrm{J}=30\times10^{-6}\\ \mathrm{J},
F_{\max}=1{,}5\\ \mathrm{mN}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{N}.
Agora uso a fórmula \;A=\dfrac{2E}{F_{\max}}\;:
A=\frac{2\cdot 30\times10^{-6}}{1{,}5\times10^{-3}}=\frac{60\times10^{-6}}{1{,}5\times10^{-3}}.
Faço a divisão passo a passo:
\frac{60\times10^{-6}}{1{,}5\times10^{-3}}=\frac{60}{1{,}5}\times10^{-6-(-3)}=\;40\times10^{-3}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
Logo
A=0{,}04\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar a pulsação \omega a partir do período T.
Fórmula e explicação: a pulsação (ou frequência angular) relaciona-se com o período por
\omega=\frac{2\pi}{T},
onde T é o tempo de uma oscilação completa. Substituindo T=2\\ \mathrm{s}:
\omega=\frac{2\pi}{2}=\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Montar a equação do movimento com a fase inicial dada.
Forma geral adotada (escolha padrão que o enunciado sugere):
x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_0),
onde:
  • A é a amplitude (já encontrada),
  • \omega é a pulsação (já encontrada),
  • \varphi_0 é a fase inicial (dada).
Substituindo os valores:
x(t)=0{,}04\sin\!\big(\pi t+\tfrac{\pi}{3}\big)\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida (controle de consistência) — opcional, mas útil para ganhar confiança:
Posso obter k a partir de F_{\max}=kA:
k=\frac{F_{\max}}{A}=\frac{1{,}5\times10^{-3}}{0{,}04}=0{,}0375\\ \mathrm{N/m}.
Verifico a energia calculando \tfrac{1}{2}kA^{2}:
\tfrac{1}{2}\cdot0{,}0375\cdot(0{,}04)^{2}= \tfrac{1}{2}\cdot0{,}0375\cdot0{,}0016=0{,}00003\\ \mathrm{J}=30\\ \mu\mathrm{J},
que é exatamente o E dado. Tudo bate direitinho — sinal verde!

Resposta

x(t)=0{,}04\sin\!\big(\pi t+\tfrac{\pi}{3}\big)\\ \mathrm{m}

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