92- A energia total de um corpo, que efectua o movimento oscilatório harmónico é igual a
; a força máxima que actua sobre o corpo é igual a
. Escrever a equação do movimento deste corpo, se o período das oscilações for igua a 2 s e a fase inicial for igual a
. R:
.
Passo 1
O enunciado pede que escrevamos a equação do movimento
de um corpo que faz oscilação harmónica, usando as informações dadas. Dados fornecidos:
Queremos obter a equação
do tipo
(ou equivalente), encontrando primeiro a amplitude
e a pulsação
.
Passo 2
Vamos relacionar as grandezas físicas e deduzir uma fórmula para a amplitude
.
Explicação da física/matemática envolvida:
- Numa mola (movimento harmónico simples) a energia total
é a energia potencial máxima quando a massa está na amplitude, dada por
onde
é a constante elástica da mola (unidade
) e
é a amplitude (unidade
). Aqui
vem da fórmula da energia potencial elástica
; no extremo
essa energia é a energia total do sistema.
- A força restauradora é
. A magnitude máxima dessa força, quando , é
Agora combinamos as duas equações para eliminar
. Da segunda equação obtemos
. Substituindo em
temos
Desse modo isolamos
:
Essa fórmula é muito útil: com a energia total e a força máxima conseguimos achar a amplitude sem precisar da massa nem de
separadamente.
Passo 3
Calcular numericamente a amplitude
, cuidando das unidades.
Primeiro converto as unidades para o sistema internacional:
Agora uso a fórmula
:
Faço a divisão passo a passo:
Logo
Passo 4
Determinar a pulsação
a partir do período
.
Fórmula e explicação: a pulsação (ou frequência angular) relaciona-se com o período por
onde
é o tempo de uma oscilação completa. Substituindo
:
Passo 5
Montar a equação do movimento com a fase inicial dada.
Forma geral adotada (escolha padrão que o enunciado sugere):
onde:
-
é a amplitude (já encontrada), -
é a pulsação (já encontrada), -
é a fase inicial (dada).
Substituindo os valores:
Passo 6
Verificação rápida (controle de consistência) — opcional, mas útil para ganhar confiança:
Posso obter
a partir de
:
Verifico a energia calculando
:
que é exatamente o
dado. Tudo bate direitinho — sinal verde!