88- Escrever a equação do movimento oscilatório harmónico, se a aceleração máxima do ponto for igual a 49,3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}, o período das oscilações for igual a 2 s e o deslocamento do ponto em relação à posição de equilíbrio no momento inicial for igual a 25 \mathrm{~mm} . \boldsymbol{R}: \boldsymbol{x}=\mathbf{5} \boldsymbol{s e n}\left(\boldsymbol{\pi} \boldsymbol{t}+\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathbf{6}}\right) \boldsymbol{c m}.

Passo 1

O enunciado pede que escrevamos a equação do movimento oscilatório harmónico (a função do deslocamento em função do tempo) usando os dados fornecidos. Dados relevantes fornecidos:
a_{\text{máx}} = 49,3\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^2á
T = 2\\ \mathrm{s}
x(0) = 25\\ \mathrm{mm}
Observação útil para trabalhar com as mesmas unidades: vou converter x(0) para centímetros, porque a_{\text{máx}}á está em \mathrm{cm}/\mathrm{s}^2.

Passo 2

Relembrando a forma geral e as fórmulas básicas de MHS (modo amigo e direto):
A equação padrão de deslocamento é
x(t)=A\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
em que:
  • A é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em cm aqui),
  • \omega é a frequência angular (em rad/s),
  • \varphi é a fase inicial (em rad),
  • t é o tempo (em s).
A aceleração instantânea em MHS é dada por
a(t)=-\omega^2 x(t).
Como a aceleração máxima em módulo ocorre quando |x(t)|=A, podemos relacionar a aceleração máxima com a amplitude por
a_{\text{máx}}=\omega^2 A.á
Outra relação importante é entre período T e frequência angular \omega:
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Vou usar essas fórmulas para determinar \omega, A e depois \varphi usando a condição inicial.

Passo 3

Calcular \omega a partir de T=2\\ \mathrm{s}:
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2}=\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Converter o deslocamento inicial para centímetros:
x(0)=25\\ \mathrm{mm}=2,5\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Determinar a amplitude A usando a_{\text{máx}}=\omega^2 Aá. Substituindo \omega=\pi e a_{\text{máx}}=49,3\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^2á,
A=\frac{a_{\text{máx}}}{\omega^2}=\frac{49,3}{\pi^2}\\ \mathrm{cm}.á
Calculemos numericamente: \pi^2\approx 9,8696, então
A\approx\frac{49,3}{9,8696}\approx 4,995\\ \mathrm{cm},
que, arredondando de modo razoável (e vendo que o enunciado resulta numa amplitude bonita), dá
A=5\\ \mathrm{cm}.
Isso faz sentido físico: amplitude 5\\ \mathrm{cm} corresponde a aceleração máxima \omega^2 A=\pi^2\cdot5\approx49,3\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^2.

Passo 6

Determinar a fase inicial \varphi usando x(0)=A\sin\varphi. Temos x(0)=2,5\\ \mathrm{cm} e A=5\\ \mathrm{cm}, então
\sin\varphi=\frac{x(0)}{A}=\frac{2,5}{5}=0,5.
As soluções para \sin\varphi=0,5 no intervalo principal são
\varphi=\frac{\pi}{6}\quad\text{ou}\quad\varphi=\frac{5\pi}{6}\\ (\text{mod }2\pi).
Ambas satisfazem a condição de deslocamento inicial, mas a forma mais simples (e a que corresponde à resposta sugerida) é escolher
\varphi=\frac{\pi}{6}.
(Em prova, se não for dada informação sobre a velocidade inicial, qualquer uma das fases que satisfaçam a condição do deslocamento é correta; escolhemos \tfrac{\pi}{6} por ser a escolha principal positiva mais simples.)

Passo 7

Agora juntamos tudo na forma final da equação do movimento. Substituindo A=5\\ \mathrm{cm}, \omega=\pi\\ \text{rad/s} e \varphi=\tfrac{\pi}{6} na expressão x(t)=A\sin(\omega t+\varphi), obtemos
x(t)=5\sin\!\left(\pi t+\frac{\pi}{6}\right)\\ \mathrm{cm}.

Resposta

x(t)=5\sin\!\left(\pi t+\dfrac{\pi}{6}\right)\\ \mathrm{cm}

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