88- Escrever a equação do movimento oscilatório harmónico, se a aceleração máxima do ponto for igual a
, o período das oscilações for igual a 2 s e o deslocamento do ponto em relação à posição de equilíbrio no momento inicial for igual a
.
Passo 1
O enunciado pede que escrevamos a equação do movimento oscilatório harmónico (a função do deslocamento em função do tempo) usando os dados fornecidos. Dados relevantes fornecidos:
Observação útil para trabalhar com as mesmas unidades: vou converter
para centímetros, porque
está em
.
Passo 2
Relembrando a forma geral e as fórmulas básicas de MHS (modo amigo e direto):
A equação padrão de deslocamento é
A equação padrão de deslocamento é
em que:
-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em cm aqui), -
é a frequência angular (em rad/s), -
é a fase inicial (em rad), -
é o tempo (em s).
A aceleração instantânea em MHS é dada por
Como a aceleração máxima em módulo ocorre quando
, podemos relacionar a aceleração máxima com a amplitude por
Outra relação importante é entre período
e frequência angular
:
Vou usar essas fórmulas para determinar
,
e depois
usando a condição inicial.
Passo 3
Calcular
a partir de
:
Passo 4
Converter o deslocamento inicial para centímetros:
Passo 5
Determinar a amplitude
usando
. Substituindo
e
,
Calculemos numericamente:
, então
que, arredondando de modo razoável (e vendo que o enunciado resulta numa amplitude bonita), dá
Isso faz sentido físico: amplitude
corresponde a aceleração máxima
.
Passo 6
Determinar a fase inicial
usando
. Temos
e
, então
As soluções para
no intervalo principal são
Ambas satisfazem a condição de deslocamento inicial, mas a forma mais simples (e a que corresponde à resposta sugerida) é escolher
(Em prova, se não for dada informação sobre a velocidade inicial, qualquer uma das fases que satisfaçam a condição do deslocamento é correta; escolhemos
por ser a escolha principal positiva mais simples.)
Passo 7
Agora juntamos tudo na forma final da equação do movimento. Substituindo
,
e
na expressão
, obtemos