89- A fase inicial de uma oscilação harmónica é igual a 0 . Ao se deslocar o ponto da posição de equilíbrio em \mathrm{x}_{1}=2,4 \mathrm{~cm}, a velocidade do ponto é v_{1}=3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, e ao deslocar em x_{2}=2,8 \mathrm{~cm} a sua velocidade é v_{2}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Determinar a amplitude e o período destas oscilações. \boldsymbol{R}: \mathbf{3 , 1 ~ c m} ; 4,1 s.

Passo 1

O enunciado dá uma oscilação harmónica com fase inicial igual a 0. Foram fornecidos dois pontos da oscilação:
x_1 = 2,4\\ \mathrm{cm},\quad v_1 = 3\\ \mathrm{cm/s},
x_2 = 2,8\\ \mathrm{cm},\quad v_2 = 2\\ \mathrm{cm/s}.
O que nos pedem: determinar a amplitude A e o período T da oscilação.
Todas as grandezas estão em centímetros e segundos; vou manter essas unidades.

Passo 2

Escrevemos as expressões padrão para uma oscilação harmónica simples quando a fase inicial é 0. Seja A a amplitude e \omega a pulsação (frequência angular). Então, para qualquer instante t,
x(t)=A\cos(\omega t),
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t).
Explicando as grandezas:
  • x(t) é a posição no tempo t (em cm).
  • v(t) é a velocidade no tempo t (em cm/s).
  • A é a amplitude máxima (em cm).
  • \omega é a frequência angular (em s^{-1}), relacionada ao período por T=\dfrac{2\pi}{\omega}.

Passo 3

Uma relação útil que elimina o tempo t é obter v^2 somado a (\omega x)^2. Vamos derivá-la e explicar por que funciona:
A partir de x=A\cos(\omega t) temos \cos(\omega t)=\dfrac{x}{A}. A partir de v=-A\omega\sin(\omega t) temos \sin(\omega t)=-\dfrac{v}{A\omega}.
Como \sin^2+\cos^2=1, substituímos:
\left(\dfrac{x}{A}\right)^2+\left(-\dfrac{v}{A\omega}\right)^2=1.
Multiplicando por A^2 e por \omega^2 obtemos a forma mais prática:
(\omega x)^2 + v^2 = A^2\omega^2.
Interpretação física: A^2\omega^2 é uma constante da oscilação (equivalente à “energia” em unidades proporcionais), então v^2+(\omega x)^2 é igual para qualquer instante.

Passo 4

Aplicamos a identidade do passo anterior para os dois pontos dados, obtendo duas equações com a mesma direita A^2\omega^2:
v_1^2 + (\omega x_1)^2 = A^2\omega^2,
v_2^2 + (\omega x_2)^2 = A^2\omega^2.
Igualando as duas expressões para eliminar A:
v_1^2 + \omega^2 x_1^2 = v_2^2 + \omega^2 x_2^2.
Isolando \omega^2:
\omega^2 (x_1^2 - x_2^2) = v_2^2 - v_1^2,
logo
\omega^2 = \dfrac{v_2^2 - v_1^2}{x_1^2 - x_2^2}.
Agora plugamos os números (tudo em cm e s): calculemos os quadrados primeiro:
x_1^2 = (2,4)^2 = 5,76\\ \mathrm{cm}^2,
x_2^2 = (2,8)^2 = 7,84\\ \mathrm{cm}^2,
v_1^2 = 3^2 = 9\\ \mathrm{(cm/s)}^2,
v_2^2 = 2^2 = 4\\ \mathrm{(cm/s)}^2.
Substituindo:
\omega^2 = \dfrac{4 - 9}{5,76 - 7,84}=\dfrac{-5}{-2,08}=\dfrac{5}{2,08}=2,403846\ldots\\ \mathrm{s^{-2}}.
Portanto
\omega = \sqrt{2,403846\ldots}=1,5503\ldots\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Agora encontramos o período T usando T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Substituindo \omega:
T=\dfrac{2\pi}{1,5503\ldots}=4,053\ldots\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma compatível com o enunciado (duas casas significativas), T\approx 4,1\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Para achar a amplitude A voltamos à relação do passo 3, por exemplo usando o ponto 1:
A^2\omega^2 = v_1^2 + \omega^2 x_1^2.
Isolando A^2:
A^2 = x_1^2 + \dfrac{v_1^2}{\omega^2}.
Substituindo os valores já calculados:
A^2 = 5,76 + \dfrac{9}{2,403846\ldots} = 5,76 + 3,744\ldots = 9,504\ldots
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A=\sqrt{9,504\ldots}=3,083\ldots\\ \mathrm{cm}.
Arredondando como no enunciado, A\approx 3,1\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Rápida verificação (para ficar tranquilo): usando o ponto 2, v_2^2+\omega^2 x_2^2 = 4 + 2,403846\cdot 7,84 = 4 + 18,504\ldots = 22,504\ldots. Enquanto A^2\omega^2 = 9,504\ldots\cdot 2,403846\ldots = 22,504\ldots. As duas coisas coincidem, então os cálculos são consistentes — bom sinal!

Resposta

A=3,1\\ \mathrm{cm}
T=4,1\\ \mathrm{s}

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