89- A fase inicial de uma oscilação harmónica é igual a 0 . Ao se deslocar o ponto da posição de equilíbrio em
, a velocidade do ponto é
, e ao deslocar em
a sua velocidade é
. Determinar a amplitude e o período destas oscilações.
4,1 s.
Passo 1
O enunciado dá uma oscilação harmónica com fase inicial igual a
. Foram fornecidos dois pontos da oscilação:
O que nos pedem: determinar a amplitude
e o período
da oscilação.
Todas as grandezas estão em centímetros e segundos; vou manter essas unidades.
Todas as grandezas estão em centímetros e segundos; vou manter essas unidades.
Passo 2
Escrevemos as expressões padrão para uma oscilação harmónica simples quando a fase inicial é
. Seja
a amplitude e
a pulsação (frequência angular). Então, para qualquer instante
,
Explicando as grandezas:
-
é a posição no tempo (em cm). -
é a velocidade no tempo (em cm/s). -
é a amplitude máxima (em cm). -
é a frequência angular (em s^{-1}), relacionada ao período por .
Passo 3
Uma relação útil que elimina o tempo
é obter
somado a
. Vamos derivá-la e explicar por que funciona:
A partir de temos
. A partir de
temos
.
Como , substituímos:
A partir de
Como
Multiplicando por
e por
obtemos a forma mais prática:
Interpretação física:
é uma constante da oscilação (equivalente à “energia” em unidades proporcionais), então
é igual para qualquer instante.
Passo 4
Aplicamos a identidade do passo anterior para os dois pontos dados, obtendo duas equações com a mesma direita
:
Igualando as duas expressões para eliminar
:
Isolando
:
logo
Agora plugamos os números (tudo em cm e s): calculemos os quadrados primeiro:
Substituindo:
Portanto
Passo 5
Agora encontramos o período
usando
. Substituindo
:
Arredondando de forma compatível com o enunciado (duas casas significativas),
.
Passo 6
Para achar a amplitude
voltamos à relação do passo 3, por exemplo usando o ponto 1:
Isolando
:
Substituindo os valores já calculados:
Logo
Arredondando como no enunciado,
.
Passo 7
Rápida verificação (para ficar tranquilo): usando o ponto 2,
. Enquanto
. As duas coisas coincidem, então os cálculos são consistentes — bom sinal!