TD 920: Métodos Numéricos Aplicados a Engenharia Civil
Nome: \_\_\_\_ Kaine Brume Gravore Da Sila
Dada a seguinte equação diferencial:
\frac{d^{2} u}{d x^{2}}+6 u=10 x
Determine, usando o método variacional de Rayleigh-Ritz, uma solução aproximada para
a Equação Diferencial acima. Considere as seguintes condições de contorno:
u(0)=0 \text { e } u(2)=0
FOORMULAS
Propriedades do cálculo variacional:
\begin{aligned} & d(\delta u)=\delta(d u) \\\ & \delta(u+v)=\delta u+\delta v \\\ & \delta(u v)=u \delta v+\delta u v \\\ & \delta\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u \delta v-\delta u v}{v^{2}} \\\ & \delta\left(u^{n}\right)=n u^{n-1} \delta u \end{aligned}
Condição Estacionária para o Funcional:
\delta \Pi=\int_{x_{s}}^{x_{s}}\left[\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right)\right] \delta u d x+\left.\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right) \delta u\right|_{x_{a}} ^{x_{b}}=0
no intervalo [0,2] com condições de contorno de Dirichlet
u(0)=0,\qquad u(2)=0.
A tarefa é: usando o método variacional de Rayleigh–Ritz, obter uma solução aproximada para u(x).
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial, o intervalo [0,2] e as condições de contorno nas extremidades. Não há outras condições livres; as variações \delta u devem anular-se nas bordas por serem valores prescritos.
Passo 2
Explicar qual funcional usar (ou seja, construir \Pi[u]) de modo que a condição estacionária \delta\Pi=0 dê a equação original. Queremos um funcional \Pi cujo Euler–Lagrange produza
Como as condições de contorno são prescritas, as variações \delta u são nulas em x=0 e x=2, logo não há contribuição de termos de contorno.
Passo 3
Escolha das funções de aproximação: no método de Rayleigh–Ritz, aproximamos u(x) por uma combinação linear de funções base que satisfaçam as condições de contorno essenciais. Para ser simples (um grau de liberdade) e ainda respeitar u(0)=u(2)=0, escolho a função de forma
\phi_{1}(x)=x(2-x).
Verificação: \phi_{1}(0)=0 e \phi_{1}(2)=0. Então a aproximação de primeira ordem será
u(x)\approx a\,\phi_{1}(x)=a\,x(2-x),
onde a é o parâmetro escalar a determinar minimizando \Pi.
Passo 4
Substituir u(x)=a\phi_{1}(x) em \Pi e obter \Pi(a). Primeiro calcule as expressões necessárias (mini-aula: sempre expanda e integre termo a termo):