AP 1

TD 920: Métodos Numéricos Aplicados a Engenharia Civil

Nome: \_\_\_\_ Kaine Brume Gravore Da Sila
Dada a seguinte equação diferencial:
\frac{d^{2} u}{d x^{2}}+6 u=10 x
Determine, usando o método variacional de Rayleigh-Ritz, uma solução aproximada para
a Equação Diferencial acima. Considere as seguintes condições de contorno:
u(0)=0 \text { e } u(2)=0

FOORMULAS

Propriedades do cálculo variacional:
\begin{aligned} & d(\delta u)=\delta(d u) \\\ & \delta(u+v)=\delta u+\delta v \\\ & \delta(u v)=u \delta v+\delta u v \\\ & \delta\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u \delta v-\delta u v}{v^{2}} \\\ & \delta\left(u^{n}\right)=n u^{n-1} \delta u \end{aligned}
Condição Estacionária para o Funcional:
\delta \Pi=\int_{x_{s}}^{x_{s}}\left[\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right)\right] \delta u d x+\left.\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right) \delta u\right|_{x_{a}} ^{x_{b}}=0
Equação de Euler-Lagrange:
\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+6u=10x
no intervalo [0,2] com condições de contorno de Dirichlet
u(0)=0,\qquad u(2)=0.
A tarefa é: usando o método variacional de Rayleigh–Ritz, obter uma solução aproximada para u(x).
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial, o intervalo [0,2] e as condições de contorno nas extremidades. Não há outras condições livres; as variações \delta u devem anular-se nas bordas por serem valores prescritos.

Passo 2

Explicar qual funcional usar (ou seja, construir \Pi[u]) de modo que a condição estacionária \delta\Pi=0 dê a equação original. Queremos um funcional \Pi cujo Euler–Lagrange produza
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+6u-10x=0.
Tomamos uma densidade funcional F(u,u',x) tal que
\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\partial F}{\partial u'}\right)=0
produza a equação acima. Uma escolha conveniente é
F=\frac{1}{2}(u')^{2}-3u^{2}+10xu.
Verificação rápida (uma mini-aula): calcula-se
\frac{\partial F}{\partial u}= -6u+10x,\qquad \frac{\partial F}{\partial u'}=u',\qquad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{\partial F}{\partial u'}\right)=u''.
Substituindo na Euler–Lagrange:
-6u+10x-u''=0 \quad\Longrightarrow\quad u''+6u-10x=0,
que é exatamente a equação dada. Portanto o funcional é
\Pi[u]=\int_{0}^{2}\left[\frac{1}{2}(u')^{2}-3u^{2}+10xu\right]dx.
Como as condições de contorno são prescritas, as variações \delta u são nulas em x=0 e x=2, logo não há contribuição de termos de contorno.

Passo 3

Escolha das funções de aproximação: no método de Rayleigh–Ritz, aproximamos u(x) por uma combinação linear de funções base que satisfaçam as condições de contorno essenciais. Para ser simples (um grau de liberdade) e ainda respeitar u(0)=u(2)=0, escolho a função de forma
\phi_{1}(x)=x(2-x).
Verificação: \phi_{1}(0)=0 e \phi_{1}(2)=0. Então a aproximação de primeira ordem será
u(x)\approx a\,\phi_{1}(x)=a\,x(2-x),
onde a é o parâmetro escalar a determinar minimizando \Pi.

Passo 4

Substituir u(x)=a\phi_{1}(x) em \Pi e obter \Pi(a). Primeiro calcule as expressões necessárias (mini-aula: sempre expanda e integre termo a termo):
\phi_{1}(x)=2x-x^{2},\qquad \phi_{1}'(x)=2-2x.
Calcule (\phi_{1}')^{2}:
(\phi_{1}')^{2}=(2-2x)^{2}=4-8x+4x^{2}.
Calcule \phi_{1}^{2}:
\phi_{1}^{2}=(2x-x^{2})^{2}=4x^{2}-4x^{3}+x^{4}.
Calcule x\phi_{1}:
x\phi_{1}=2x^{2}-x^{3}.
Agora substituímos em \Pi:
\Pi(a)=\int_{0}^{2}\left[\frac{1}{2}(a^{2}(\phi_{1}')^{2})-3(a^{2}\phi_{1}^{2})+10a(x\phi_{1})\right]dx.
Separe em três integrais:
I_{1}=\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{2}(4-8x+4x^{2})dx,
I_{2}=-3a^{2}\int_{0}^{2}(4x^{2}-4x^{3}+x^{4})dx,
I_{3}=10a\int_{0}^{2}(2x^{2}-x^{3})dx.
Agora calcule cada integral com calma (mostrando passos):
Para I_{1}:
\int_{0}^{2}(4-8x+4x^{2})dx=\Big[4x-4x^{2}+\tfrac{4}{3}x^{3}\Big]_{0}^{2} =8-16+\tfrac{32}{3}=-8+\tfrac{32}{3}=\tfrac{8}{3}.
Logo
I_{1}=\frac{a^{2}}{2}\cdot \frac{8}{3}=\frac{4}{3}a^{2}.
Para I_{2}:
\int_{0}^{2}(4x^{2}-4x^{3}+x^{4})dx=\Big[\tfrac{4}{3}x^{3}-x^{4}+\tfrac{1}{5}x^{5}\Big]_{0}^{2} =\tfrac{32}{3}-16+\tfrac{32}{5}.
Colocando sobre o denominador comum 15:
\tfrac{32}{3}-16+\tfrac{32}{5}=\tfrac{160-240+96}{15}=\tfrac{16}{15}.
Então
I_{2}=-3a^{2}\cdot \tfrac{16}{15}=-\tfrac{48}{15}a^{2}=-\tfrac{16}{5}a^{2}.
Para I_{3}:
\int_{0}^{2}(2x^{2}-x^{3})dx=\Big[\tfrac{2}{3}x^{3}-\tfrac{1}{4}x^{4}\Big]_{0}^{2}=\tfrac{16}{3}-4=\tfrac{4}{3}.
Logo
I_{3}=10a\cdot \tfrac{4}{3}=\tfrac{40}{3}a.
Somando:
\Pi(a)=I_{1}+I_{2}+I_{3}=\left(\tfrac{4}{3}-\tfrac{16}{5}\right)a^{2}+\tfrac{40}{3}a.
Colocando a^{2}-coeficiente em denominador 15:
\tfrac{4}{3}-\tfrac{16}{5}=\tfrac{20-48}{15}=-\tfrac{28}{15}.
Portanto
\Pi(a)=-\tfrac{28}{15}a^{2}+\tfrac{40}{3}a.

Passo 5

Determinar a impondo \dfrac{d\Pi}{da}=0 (condição de mínimo/estacionariedade). Diferenciando:
\frac{d\Pi}{da}=-\frac{56}{15}a+\frac{40}{3}=0.
Resolva para a:
-\frac{56}{15}a=-\frac{40}{3}\quad\Longrightarrow\quad \frac{56}{15}a=\frac{40}{3}.
Simplificando:
a=\frac{40}{3}\cdot\frac{15}{56}=\frac{40\cdot15}{3\cdot56}.
Cancele fatores: 40/56=5/7 e 15/3=5. Logo
a=\frac{5}{7}\cdot 5=\frac{25}{7}.

Passo 6

Escrevendo a solução aproximada final: com a=\dfrac{25}{7} e \phi_{1}(x)=x(2-x), obtemos a aproximação de Rayleigh–Ritz de primeira ordem
u(x)\approx \frac{25}{7}\,x(2-x).
Se desejar, expandindo:
u(x)\approx \frac{50}{7}x-\frac{25}{7}x^{2}.

Resposta

\displaystyle u(x)\approx \frac{25}{7}\,x(2-x)=\frac{50}{7}x-\frac{25}{7}x^{2}

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