Em cada caso mostre que
é função harmônica, determine sua conjugada harmônica e
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função dada: mostrar que
é função harmônica, determinar uma conjugada harmônica
e escrever a função complexa
. A informação fornecida é apenas a função
Estamos em domínio todo
(nenhuma restrição dada), então podemos tentar achar
globalmente.
Passo 2
O que significa “função harmônica”? Vou explicar passo a passo: uma função
é harmônica num domínio se sua laplaciana é zero. A laplaciana é a soma das segundas derivadas parciais em
e em
. Em notação,
Aqui
é a derivada segunda de
em relação a
(ou seja, differentiando
em
), e
é a derivada segunda em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias, com explicação: primeiro derivamos
em relação a
considerando
fixo; depois em relação a
considerando
fixo.
Derivando em
,
porque a derivada de
em relação a
é
e a de
em relação a
é
(tratando
como constante). Agora a segunda derivada em
:
pois
não depende de
.
Derivando em
,
pois
é tratado como constante e
. E a segunda derivada em
é
pois
não depende de
.
Passo 4
Agora calculamos a laplaciana usando os resultados:
Como
em todo
, concluímos que
é harmônica no domínio (no caso, globalmente). Ótimo — primeira parte feita.
Passo 5
Próximo objetivo: achar uma conjugada harmônica
. Vou explicar a ideia: se quisermos que
seja holomorfa (função complexa diferenciável),
e
devem satisfazer as equações de Cauchy–Riemann. Essas equações são
Aqui
e
já foram calculados. Vamos usá-los para obter equações para
.
Passo 6
Substituindo os valores encontrados, obtemos:
Essas são duas formas de descrever as derivadas parciais de
. Para encontrar
podemos integrar uma delas e depois ajustar com a outra para determinar funções “constantes” de integração (que aqui são funções de uma única variável).
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque integrámos em
).
Passo 7
Agora encontramos
a partir da expressão obtida e igualamos a
:
Pelo sistema, isso deve ser igual a
. Logo
Integramos em
:
onde
é uma constante real arbitrária. Portanto a conjugada harmônica é
Podemos reorganizar os termos se preferir:
Passo 8
Uma verificação rápida (importante na prova): calcule
a partir dessa expressão e confirme que volta
:
ok — consistente. E
, também consistente.
Além disso podemos escrever
de forma compacta em termos da variável complexa
. Observando que escolher
e
dá
pois essa função tem parte real
(de fato:
) e parte imaginária igual à
encontrada (até a constante real
que aparece como
em
). Então uma forma conveniente de escrever
é
com
.