Em cada caso mostre que u(x, y) é função harmônica, determine sua conjugada harmônica e f=u(x, y)+i v(x, y)
u(x, y)=x-5 x y

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função dada: mostrar que u(x,y) é função harmônica, determinar uma conjugada harmônica v(x,y) e escrever a função complexa f=u+iv. A informação fornecida é apenas a função
u(x,y)=x-5xy.
Estamos em domínio todo \mathbb{R}^2 (nenhuma restrição dada), então podemos tentar achar v globalmente.

Passo 2

O que significa “função harmônica”? Vou explicar passo a passo: uma função u(x,y) é harmônica num domínio se sua laplaciana é zero. A laplaciana é a soma das segundas derivadas parciais em x e em y. Em notação,
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}.
Aqui u_{xx} é a derivada segunda de u em relação a x (ou seja, differentiando u_x em x), e u_{yy} é a derivada segunda em relação a y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias, com explicação: primeiro derivamos u em relação a x considerando y fixo; depois em relação a y considerando x fixo.
u(x,y)=x-5xy.
Derivando em x,
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x-5xy)=1-5y,
porque a derivada de x em relação a x é 1 e a de -5xy em relação a x é -5y (tratando y como constante). Agora a segunda derivada em x:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(1-5y)=0,
pois 1-5y não depende de x.
Derivando em y,
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x-5xy)=-5x,
pois x é tratado como constante e \partial_y(-5xy)=-5x. E a segunda derivada em y é
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-5x)=0,
pois -5x não depende de y.

Passo 4

Agora calculamos a laplaciana usando os resultados:
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0+0=0.
Como \Delta u=0 em todo \mathbb{R}^2, concluímos que u é harmônica no domínio (no caso, globalmente). Ótimo — primeira parte feita.

Passo 5

Próximo objetivo: achar uma conjugada harmônica v(x,y). Vou explicar a ideia: se quisermos que f=u+iv seja holomorfa (função complexa diferenciável), u e v devem satisfazer as equações de Cauchy–Riemann. Essas equações são
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Aqui u_x e u_y já foram calculados. Vamos usá-los para obter equações para v.

Passo 6

Substituindo os valores encontrados, obtemos:
v_y = u_x = 1-5y,
v_x = -u_y = -(-5x)=5x.
Essas são duas formas de descrever as derivadas parciais de v. Para encontrar v podemos integrar uma delas e depois ajustar com a outra para determinar funções “constantes” de integração (que aqui são funções de uma única variável).
Integramos v_y em relação a y:
v(x,y)=\int (1-5y)\,dy = y-\frac{5}{2}y^2+\varphi(x),
onde \varphi(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x (porque integrámos em y).

Passo 7

Agora encontramos v_x a partir da expressão obtida e igualamos a 5x:
v_x=\frac{\partial}{\partial x}\Big(y-\frac{5}{2}y^2+\varphi(x)\Big)=\varphi'(x).
Pelo sistema, isso deve ser igual a 5x. Logo
\varphi'(x)=5x.
Integramos em x:
\varphi(x)=\int 5x\,dx = \frac{5}{2}x^2 + C,
onde C é uma constante real arbitrária. Portanto a conjugada harmônica é
v(x,y)=y-\frac{5}{2}y^2+\frac{5}{2}x^2 + C.
Podemos reorganizar os termos se preferir:
v(x,y)=\frac{5}{2}x^2 + y - \frac{5}{2}y^2 + C.

Passo 8

Uma verificação rápida (importante na prova): calcule v_y a partir dessa expressão e confirme que volta 1-5y:
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{5}{2}x^2 + y - \frac{5}{2}y^2 + C\Big)=1-5y,
ok — consistente. E v_x=\frac{5}{2}\cdot 2x=5x, também consistente.
Além disso podemos escrever f de forma compacta em termos da variável complexa z=x+iy. Observando que escolher b=\tfrac{5}{2}i e a=1
f(z)=z+\frac{5}{2}i\,z^2 + iC,
pois essa função tem parte real u(x,y)=x-5xy (de fato: \Re\big(z+\tfrac{5}{2}i z^2\big)=x-5xy) e parte imaginária igual à v encontrada (até a constante real C que aparece como iC em f). Então uma forma conveniente de escrever f é
f(z)=z+\frac{5}{2}i\,z^2 + iC,
com C\in\mathbb{R}.

Resposta

u(x,y)=x-5xy é harmônica (pois \Delta u=0).\n
v(x,y)=\dfrac{5}{2}x^2 + y - \dfrac{5}{2}y^2 + C, com C\in\mathbb{R}.\n
f(z)=u+iv = x-5xy + i\Big(\dfrac{5}{2}x^2 + y - \dfrac{5}{2}y^2 + C\Big), ou equivalentemente f(z)=z+\dfrac{5}{2}i\,z^2 + iC.

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