Em cada caso mostre que u(x, y) é função harmônica, determine sua conjugada harmônica e f=u(x, y)+i v(x, y)
u(x, y)=\operatorname{sen}(x) \operatorname{cosh} (y)

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função u(x,y)=\operatorname{sen}(x)\operatorname{cosh}(y):
  1. Mostrar que u é função harmônica (ou seja, que satisfaz a equação de Laplace).
  2. Determinar uma conjugada harmônica v(x,y) de u (ou seja, uma função v tal que u+iv seja holomorfa).
  3. Escrever f=u+iv.
Informações dadas: a própria expressão de u,
u(x,y)=\operatorname{sen}(x)\operatorname{cosh}(y).

Passo 2

O que significa ser função harmônica? Uma função u(x,y) é harmônica se satisfaz a equação de Laplace:
u_{xx}+u_{yy}=0.
Aqui u_{xx} é a segunda derivada parcial de u em relação a x e u_{yy} é a segunda derivada parcial em relação a y. Vamos calcular essas derivadas passo a passo. Para isso usamos regra do produto e as derivadas conhecidas:
  • a derivada de \operatorname{sen}(x) em relação a x é \cos(x);
  • a derivada de \operatorname{cosh}(y) em relação a y é \operatorname{sinh}(y);
  • as derivadas de ordem superior seguem: \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x), \frac{d}{dy}\operatorname{sinh}(y)=\operatorname{cosh}(y).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando u(x,y)=\operatorname{sen}(x)\operatorname{cosh}(y) em relação a x (tratando y como constante) temos
u_x(x,y)=\cos(x)\operatorname{cosh}(y).
Derivando em relação a y (tratando x como constante) temos
u_y(x,y)=\operatorname{sen}(x)\operatorname{sinh}(y).

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas parciais:
Derivando u_x em relação a x:
u_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos(x)\operatorname{cosh}(y)\big)=-\sin(x)\operatorname{cosh}(y).
Derivando u_y em relação a y:
u_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sen}(x)\operatorname{sinh}(y)\big)=\operatorname{sen}(x)\operatorname{cosh}(y).

Passo 5

Somamos as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
u_{xx}+u_{yy}=-\sin(x)\operatorname{cosh}(y)+\sin(x)\operatorname{cosh}(y)=0.
Portanto u_{xx}+u_{yy}=0, logo u é harmônica em toda a reta (x,y)\in\mathbb{R}^2. (Obs.: \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} são bem definidas para todo y, então o domínio natural é o plano inteiro.)

Passo 6

O que é uma conjugada harmônica? Se existe uma função v(x,y) tal que f(x,y)=u(x,y)+i\,v(x,y) é holomorfa (analítica), então u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.
Usamos essas equações para encontrar v. Já temos u_x(x,y)=\cos(x)\operatorname{cosh}(y). Então da primeira equação de Cauchy–Riemann:
v_y(x,y)=u_x(x,y)=\cos(x)\operatorname{cosh}(y).

Passo 7

Integramos v_y em relação a y para obter v:
v(x,y)=\int v_y(x,y)\,dy=\int \cos(x)\operatorname{cosh}(y)\,dy=\cos(x)\operatorname{sinh}(y)+C(x),
onde C(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x. Agora usamos a segunda equação de Cauchy–Riemann u_y=-v_x para determinar C(x).
Calcule v_x a partir da expressão encontrada:
v_x(x,y)=-\sin(x)\operatorname{sinh}(y)+C'(x).
A equação u_y=-v_x exige
\operatorname{sen}(x)\operatorname{sinh}(y)=-\big(-\sin(x)\operatorname{sinh}(y)+C'(x)\big)=\sin(x)\operatorname{sinh}(y)-C'(x).
Rearranjando,
\operatorname{sen}(x)\operatorname{sinh}(y)-\sin(x)\operatorname{sinh}(y) = -C'(x).
Mas \operatorname{sen}(x)=\sin(x), então o lado esquerdo é zero, logo C'(x)=0. Portanto C(x) é constante (independente de x). Podemos escolher essa constante igual a zero (ou qualquer constante real, que apenas adiciona uma constante imaginária a f). Assim uma conjugada harmônica é
v(x,y)=\cos(x)\operatorname{sinh}(y)\quad(\text{ou }v=\cos(x)\operatorname{sinh}(y)+\text{constante}).

Passo 8

Verificação rápida das equações de Cauchy–Riemann com v(x,y)=\cos(x)\operatorname{sinh}(y):
  • v_y=\cos(x)\operatorname{cosh}(y)=u_x (ok);
  • v_x=-\sin(x)\operatorname{sinh}(y)=-u_y (ok).
Logo u e v satisfazem CR e f=u+iv é holomorfa em todo \mathbb{R}^2.
Além disso, podemos reconhecer f em termos da função trigonométrica complexa: para z=x+iy tem-se
\sin z=\sin(x+iy)=\sin(x)\operatorname{cosh}(y)+i\cos(x)\operatorname{sinh}(y),
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f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y)=\sin z.

Resposta

u é harmônica.
v(x,y)=\cos(x)\operatorname{sinh}(y) (mais uma constante arbitrária).
f(x,y)=u+iv=\sin(x)\operatorname{cosh}(y)+i\cos(x)\operatorname{sinh}(y)=\sin(z), com z=x+iy.

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