Em cada caso mostre que
é função harmônica, determine sua conjugada harmônica e
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
:
- Mostrar que
é função harmônica (ou seja, que satisfaz a equação de Laplace). - Determinar uma conjugada harmônica
de (ou seja, uma função tal que seja holomorfa). - Escrever
.
Informações dadas: a própria expressão de
,
Passo 2
O que significa ser função harmônica? Uma função
é harmônica se satisfaz a equação de Laplace:
Aqui
é a segunda derivada parcial de
em relação a
e
é a segunda derivada parcial em relação a
. Vamos calcular essas derivadas passo a passo. Para isso usamos regra do produto e as derivadas conhecidas:
- a derivada de
em relação a é ; - a derivada de
em relação a é ; - as derivadas de ordem superior seguem:
, .
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando
em relação a
(tratando
como constante) temos
Derivando em relação a
(tratando
como constante) temos
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas parciais:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Somamos as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Portanto
, logo
é harmônica em toda a reta
. (Obs.:
e
são bem definidas para todo
, então o domínio natural é o plano inteiro.)
Passo 6
O que é uma conjugada harmônica? Se existe uma função
tal que
é holomorfa (analítica), então
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Usamos essas equações para encontrar
. Já temos
. Então da primeira equação de Cauchy–Riemann:
Passo 7
Integramos
em relação a
para obter
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Agora usamos a segunda equação de Cauchy–Riemann
para determinar
.
Calcule
a partir da expressão encontrada:
A equação
exige
Rearranjando,
Mas
, então o lado esquerdo é zero, logo
. Portanto
é constante (independente de
). Podemos escolher essa constante igual a zero (ou qualquer constante real, que apenas adiciona uma constante imaginária a
). Assim uma conjugada harmônica é
Passo 8
Verificação rápida das equações de Cauchy–Riemann com
:
-
(ok); -
(ok).
Logo
e
satisfazem CR e
é holomorfa em todo
.
Além disso, podemos reconhecer
em termos da função trigonométrica complexa: para
tem-se
logo