80- Uma roda de raio 30 cm e de massa 3 kg , rola desde o topo do plano inclinado de comprimento 5 m que faz um ângulo de 25^{\circ} com a horizontal. Determine o momento de inércia dela, se sua velocidade na base do plano inclinado for de 4,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} . \boldsymbol{R}: \mathbf{0 , 2 5 9} \mathbf{k g m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Dados: m=3\\ \mathrm{kg}
R=30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m}
s=5\\ \mathrm{m}\quad(\text{comprimento do plano inclinado})
\theta=25^\circ
v=4,6\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{velocidade da roda na base})
(vou usar a aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.)
  • Pedido:
    Determinar o momento de inércia I da roda, compatível com os dados acima.

Passo 2

Ideia física que vamos usar (sem resolver ainda): a roda rola sem deslizar, então a energia potencial perdida ao descer o plano vira energia cinética de translação + energia cinética de rotação. Em palavras:
energia potencial inicial = energia cinética de translação + energia cinética de rotação.
Escrevendo em fórmula:
m g h = \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} I \omega^2
onde:
  • h é a altura que a roda desceu (em metros),
  • \omega é a velocidade angular final da roda (em \mathrm{rad/s}).
Como a roda rola sem deslizar, vale a condição de rolamento sem deslizamento:
\omega = \frac{v}{R}.

Passo 3

Calcular \;h\; (a variação de altura) a partir do comprimento do plano inclinado s e do ângulo \theta. A altura é a componente vertical do deslocamento:
h = s\sin\theta.
Substituindo os números:
h = 5\sin(25^\circ).
Usando \sin(25^\circ)\approx 0,422618 (valor tabelado),
h \approx 5\cdot 0,422618 = 2,11309\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Voltemos à equação de conservação de energia e substituamos \omega = v/R. Escrevemos a equação e isolamos I:
m g h = \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2.
Multiplicando por 2 e isolando I:
2 m g h = m v^2 + I \frac{v^2}{R^2}
I \frac{v^2}{R^2} = 2 m g h - m v^2
I = \frac{2 m g h - m v^2}{v^2/R^2} = R^2\frac{2 m g h - m v^2}{v^2}.
Podemos também fatorar m:
I = m R^2\left(\frac{2 g h}{v^2} - 1\right).
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular I. Aqui:
  • m é a massa,
  • R é o raio,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a altura calculada,
  • v é a velocidade final.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos na expressão
I = R^2\frac{2 m g h - m v^2}{v^2}.
Primeiro calculemos termo a termo.
Calcule 2 m g h:
2 m g h = 2\cdot 3 \cdot 9,8 \cdot 2,11309.
Faço passo a passo:
2\cdot 3 = 6,
6\cdot 9,8 = 58,8,
58,8\cdot 2,11309 \approx 124,216.
Calcule m v^2:
m v^2 = 3\cdot (4,6)^2 = 3\cdot 21,16 = 63,48.
Agora o numerador:
2 m g h - m v^2 \approx 124,216 - 63,48 = 60,736.

Passo 6

Calcule o denominador \omega^2 = v^2/R^2 ou diretamente v^2 e R^2:
v^2 = (4,6)^2 = 21,16,
R^2 = (0,30)^2 = 0,09.
Então
\frac{v^2}{R^2} = \frac{21,16}{0,09} \approx 235,111\ldots
Usando a forma
I = \frac{2 m g h - m v^2}{v^2/R^2}
temos
I \approx \frac{60,736}{235,111} \approx 0,2585\\ \mathrm{kg\,m}^2.

Passo 7

Arredondando sensatamente (o enunciado dá como resposta 0,259\\ \mathrm{kg\,m}^2), apresento o valor final com três algarismos significativos:
I \approx 0,259\\ \mathrm{kg\,m}^2.

Resposta

0,259\\ \mathrm{kg\,m}^2

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