96 Uma carga q está distribuída uniformemente em um volume esférico de raio R. Tome V=0 no infinito. Determine (a) o potencial V para r<R e (b) a diferença de potencial entre o ponto r=R e o ponto r=0.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que vem a seguir foi extraído do enunciado):
  • Há uma carga total q distribuída uniformemente em um volume esférico de raio R.
  • O potencial elétrico de referência é V(\infty)=0.
  • Pedidos:
    (a) determinar o potencial V para r<R (ou seja, dentro da esfera).
    (b) calcular a diferença de potencial entre o ponto r=R e o ponto r=0; isto é, determinar V(R)-V(0) (o enunciado pede “a diferença de potencial entre o ponto r=R e o ponto r=0”).

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever a densidade de carga volumétrica uniforme. Se a carga total é q e o volume da esfera é \dfrac{4}{3}\pi R^{3}, então a densidade volumétrica uniforme \rho é
\rho=\frac{q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}=\frac{3q}{4\pi R^{3}}.
Explicação curta: densidade é carga por volume; como a distribuição é uniforme, cada porção de volume tem a mesma carga por unidade de volume.

Passo 3

Vamos obter o campo elétrico \mathbf{E} usando a lei de Gauss (método clássico e direto para distribuições esféricas). Para uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na esfera:
  • o campo é radial e tem magnitude E(r) constante sobre essa superfície;
  • o fluxo elétrico é \Phi = E(r) \cdot 4\pi r^{2};
  • pela lei de Gauss, \Phi = Q_{\text{int}}/\varepsilon_{0}, onde Q_{\text{int}} é a carga contida dentro da esfera de raio r.
Agora calcular Q_{\text{int}}:
  • Se r\le R, a carga contida até r é a fração volumétrica (r^{3}/R^{3}) da carga total, logo
Q_{\text{int}}(r)=q\frac{r^{3}}{R^{3}}.
Aplicando Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}}=\frac{q r^{3}}{\varepsilon_{0} R^{3}}.
Isolando E(r) para r<R,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q\,r}{R^{3}}.
Comentário: dentro da esfera o campo cresce linearmente com r (comportamento E\propto r), pois mais carga está contida conforme aumentamos r.
Para referência (e para continuidade na integração do potencial) o campo fora da esfera ( r\ge R) é o campo de uma carga pontual q localizada no centro:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}}\qquad(r\ge R).

Passo 4

Relação entre campo elétrico e potencial: a diferença de potencial entre dois pontos a e b é
V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Para campos radiais com E(r) e escolhendo trajetórias radiais, isso vira um integral em r:
V(b)-V(a)=-\int_{r_a}^{r_b} E(r')\,dr'.
Como nos deram V(\infty)=0, é conveniente primeiro obter V(R) integrando de \infty até R (usando o campo externo), e depois obter V(r) para r<R integrando de R até r usando E dentro da esfera.

Passo 5

Calcular V(R) usando V(\infty)=0. Para r\ge R o campo é o de uma carga puntual, então
V(R)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{R} E(r')\,dr'=-\int_{\infty}^{R}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r'^{2}}\,dr'.
Calcule o integral:
-\int_{\infty}^{R}\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{r'^{2}}\,dr' = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[ -\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{R} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{R}.
Portanto
V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R}.
Comentário: este é o resultado óbvio — o potencial na superfície é o mesmo que de uma carga pontual q à distância R.

Passo 6

Agora calcular V(r) para r<R. Usamos
V(r)-V(R)=-\int_{R}^{r} E_{\text{in}}(r')\,dr',
onde E_{\text{in}}(r')=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q\,r'}{R^{3}}. Substituindo:
V(r)=V(R)-\int_{R}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q\,r'}{R^{3}}\,dr'.
Fazendo o integral explicitamente:
\int_{R}^{r} r'\,dr'=\frac{1}{2}\bigl(r^{2}-R^{2}\bigr).
Logo
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R^{3}}\cdot\frac{1}{2}\bigl(r^{2}-R^{2}\bigr).
Simplificando a expressão algébrica:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,q\left[\frac{1}{R}-\frac{r^{2}-R^{2}}{2R^{3}}\right].
Reescrevendo numa forma mais usual:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{2R}\left(3-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right),\qquad (r<R).
Verificação rápida nos extremos:
  • Para r=R esta fórmula dá V(R)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{R} (consistente).
  • Para r=0 ela dá V(0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{3q}{2R} (potencial máximo no centro).

Passo 7

Calcular a diferença pedida V(R)-V(0). Usar os valores:
V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R},\qquad V(0)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{3q}{2R}.
Então
V(R)-V(0)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{3q}{2R} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R}\left(1-\frac{3}{2}\right) =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{2R}.
Podemos também escrever em forma mais compacta:
V(R)-V(0)=-\frac{q}{8\pi\varepsilon_{0}R}.
Interpretação física rápida: o potencial no centro é maior que na superfície; a diferença é \dfrac{q}{8\pi\varepsilon_{0}R} em módulo, com sinal negativo para V(R)-V(0).

Resposta

(a) \displaystyle V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{2R}\left(3-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)\quad(r<R)\n
(b) \displaystyle V(R)-V(0)=-\frac{q}{8\pi\varepsilon_{0}R}

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