96 Uma carga
está distribuída uniformemente em um volume esférico de raio
. Tome
no infinito. Determine (a) o potencial
para
e (b) a diferença de potencial entre o ponto
e o ponto
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que vem a seguir foi extraído do enunciado):
- Há uma carga total
distribuída uniformemente em um volume esférico de raio . - O potencial elétrico de referência é
. - Pedidos:
(a) determinar o potencialpara (ou seja, dentro da esfera).
(b) calcular a diferença de potencial entre o pontoe o ponto ; isto é, determinar (o enunciado pede “a diferença de potencial entre o ponto e o ponto ”).
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a densidade de carga volumétrica uniforme. Se a carga total é
e o volume da esfera é
, então a densidade volumétrica uniforme
é
Explicação curta: densidade é carga por volume; como a distribuição é uniforme, cada porção de volume tem a mesma carga por unidade de volume.
Passo 3
Vamos obter o campo elétrico
usando a lei de Gauss (método clássico e direto para distribuições esféricas). Para uma superfície gaussiana esférica de raio
centrada na esfera:
- o campo é radial e tem magnitude
constante sobre essa superfície; - o fluxo elétrico é
; - pela lei de Gauss,
, onde é a carga contida dentro da esfera de raio .
Agora calcular
:
- Se
, a carga contida até é a fração volumétrica da carga total, logo
Aplicando Gauss:
Isolando
para
,
Comentário: dentro da esfera o campo cresce linearmente com
(comportamento
), pois mais carga está contida conforme aumentamos
.
Para referência (e para continuidade na integração do potencial) o campo fora da esfera (
) é o campo de uma carga pontual
localizada no centro:
Passo 4
Relação entre campo elétrico e potencial: a diferença de potencial entre dois pontos
e
é
Para campos radiais com
e escolhendo trajetórias radiais, isso vira um integral em
:
Como nos deram
, é conveniente primeiro obter
integrando de
até
(usando o campo externo), e depois obter
para
integrando de
até
usando
dentro da esfera.
Passo 5
Calcular
usando
. Para
o campo é o de uma carga puntual, então
Calcule o integral:
Portanto
Comentário: este é o resultado óbvio — o potencial na superfície é o mesmo que de uma carga pontual
à distância
.
Passo 6
Agora calcular
para
. Usamos
onde
. Substituindo:
Fazendo o integral explicitamente:
Logo
Simplificando a expressão algébrica:
Reescrevendo numa forma mais usual:
Verificação rápida nos extremos:
- Para
esta fórmula dá (consistente). - Para
ela dá (potencial máximo no centro).
Passo 7
Calcular a diferença pedida
. Usar os valores:
Então
Podemos também escrever em forma mais compacta:
Interpretação física rápida: o potencial no centro é maior que na superfície; a diferença é
em módulo, com sinal negativo para
.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)