Encontre (\delta p / \delta T)_{v} para gases que obdecem:
à uma equação do tipo \mathbf{p ( v - b )}=\mathbf{R T}

Passo 1

O enunciado fornece a equação de estado
p (v - b) = R T,
e pede a derivada parcial de p em relação a T mantendo v constante, isto é
\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • p é a pressão (variável dependente);
  • T é a temperatura (variável independente para esta derivada);
  • v é o volume molar (deve ser mantido constante ao calcular a derivada parcial);
  • R e b são constantes do gás ( R costuma ser a constante universal dos gases, b é um parâmetro da equação);
  • A equação relaciona p, v e T de modo explícito através do produto p(v-b).

Passo 2

Entendendo o que significa \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.
  • A notação \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_{v} indica a taxa de variação de p quando T varia, mantendo v fixo. Em termos de limite,
\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v} = \lim_{\Delta T\to 0}\frac{p(T+\Delta T,\,v)-p(T,\,v)}{\Delta T}.
  • Na prática de prova, há duas formas simples de obter essa derivada: (i) isolar p como função de T e diferenciar normalmente; ou (ii) diferenciar implicitamente a equação dada em relação a T, tratando v como constante. Ambas dão o mesmo resultado. Vou mostrar as duas, começando pela mais direta.

Passo 3

Isolando p na equação fornecida (método direto).
Partindo de
p\,(v-b)=R\,T,
como v-b não depende de T (lembre: v está fixo e b é constante), divide-se ambos os lados por v-b:
p=\frac{R\,T}{v-b}.
Aqui temos p expressa explicitamente como função linear de T (para v fixo).

Passo 4

Diferenciando p em relação a T com v constante.
A expressão \dfrac{R\,T}{v-b} é do tipo constante vezes T, porque \dfrac{R}{v-b} é constante quando v é fixo. Portanto a derivada simples em relação a T é
\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}=\frac{R}{v-b},
pois \dfrac{d}{dT}(aT)=a para qualquer constante a.

Passo 5

Checando por diferenciação implícita (segunda via, útil na prova).
Partindo novamente de
p\,(v-b)=R\,T,
diferencia ambos os lados em relação a T, lembrando que v e b são constantes (logo \dfrac{d}{dT}(v-b)=0):
(v-b)\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v} = R.
Isolando \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_{v} obtemos
\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}=\frac{R}{v-b},
mesmo resultado que antes. Isso confirma a consistência dos dois métodos.

Passo 6

Interpretação física e de unidades (para fixar a ideia).
  • A derivada \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_{v} dá quantos pascais (ou unidades de pressão) a pressão aumenta quando a temperatura aumenta em uma unidade, mantendo o volume molar fixo.
  • Se R está em \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e v e b em \mathrm{m^3\,mol^{-1}}, então \dfrac{R}{v-b} tem unidade \mathrm{J\,m^{-3}K^{-1}}=\mathrm{Pa\,K^{-1}}, compatível com \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}.
  • Caso b=0 (caso ideal), a expressão reduz-se a \dfrac{R}{v}, que é a derivada correta para gás ideal à volume fixo.

Passo 7

Dica prática para a prova (resumindo o procedimento).
  • Passo rápido: isole p (ou faça diferenciação implícita), trate v como constante e derive em relação a T. Em questões parecidas, identificar quais símbolos são constantes no diferencial é a chave para não errar.

Resposta

\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{v}=\frac{R}{v-b}

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