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para gases que obdecem:
à uma equação do tipo
à uma equação do tipo
Passo 1
O enunciado fornece a equação de estado
e pede a derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante, isto é
Informações relevantes que o enunciado dá:
-
é a pressão (variável dependente); -
é a temperatura (variável independente para esta derivada); -
é o volume molar (deve ser mantido constante ao calcular a derivada parcial); -
e são constantes do gás ( costuma ser a constante universal dos gases, é um parâmetro da equação); - A equação relaciona
, e de modo explícito através do produto .
Passo 2
Entendendo o que significa
.
- A notação
indica a taxa de variação de quando varia, mantendo fixo. Em termos de limite,
- Na prática de prova, há duas formas simples de obter essa derivada: (i) isolar
como função de e diferenciar normalmente; ou (ii) diferenciar implicitamente a equação dada em relação a , tratando como constante. Ambas dão o mesmo resultado. Vou mostrar as duas, começando pela mais direta.
Passo 3
Isolando
na equação fornecida (método direto).
Partindo de
como
não depende de
(lembre:
está fixo e
é constante), divide-se ambos os lados por
:
Aqui temos
expressa explicitamente como função linear de
(para
fixo).
Passo 4
Diferenciando
em relação a
com
constante.
A expressão
é do tipo constante vezes
, porque
é constante quando
é fixo. Portanto a derivada simples em relação a
é
pois
para qualquer constante
.
Passo 5
Checando por diferenciação implícita (segunda via, útil na prova).
Partindo novamente de
diferencia ambos os lados em relação a
, lembrando que
e
são constantes (logo
):
Isolando
obtemos
mesmo resultado que antes. Isso confirma a consistência dos dois métodos.
Passo 6
Interpretação física e de unidades (para fixar a ideia).
- A derivada
dá quantos pascais (ou unidades de pressão) a pressão aumenta quando a temperatura aumenta em uma unidade, mantendo o volume molar fixo. - Se
está em e e em , então tem unidade , compatível com . - Caso
(caso ideal), a expressão reduz-se a , que é a derivada correta para gás ideal à volume fixo.
Passo 7
Dica prática para a prova (resumindo o procedimento).
- Passo rápido: isole
(ou faça diferenciação implícita), trate como constante e derive em relação a . Em questões parecidas, identificar quais símbolos são constantes no diferencial é a chave para não errar.