Água evapora de um balde aberto a 27^{\circ} \mathrm{C}, devido ao escape de moléculas superficiais. O calor de evaporação é de 540 \mathrm{cal} / \mathrm{g} e pode ser associado a \eta . \mathrm{n}_{\mathrm{o}} onde \eta é a energia média das moléculas que escapam e \mathrm{n}_{\mathrm{o}} é o numero de moléculas por grama. (a) Calcule \eta. (b) quantas vezes \eta é maior que a energia cinética média das moléculas de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, admitindo que a sua relação com a temperatura é a mesma que nos gases ideais?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dado: o calor de evaporação da água é 540\\ \mathrm{cal/g}.
  • Dado: a evaporação por unidade de massa pode ser escrita como \eta\cdot n_{o}, onde \eta é a energia média por molécula que escapa e n_{o} é o número de moléculas por grama.
  • Dado: a temperatura é 27^{\circ}\mathrm{C}, ou seja T=27^{\circ}\mathrm{C}=300,15\\ \mathrm{K}.
  • Pede (a) calcular \eta (energia média por molécula que escapa).
  • Pede (b) quantas vezes \eta é maior que a energia cinética média de uma molécula de \mathrm{H_2O}, assumindo a mesma relação que para gases ideais.
Constantes que usarei (valores numéricos padrão):
N_A = 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}, \qquad k_B = 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},
massa molar da água:
M = 18\\ \mathrm{g/mol},
conversão caloria-Joule:
1\\ \mathrm{cal} = 4,186\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Primeiro calculemos n_{o}, o número de moléculas por grama. A relação é:
n_{o}=\frac{N_A}{M},
onde N_A é o número de Avogadro e M a massa molar em \mathrm{g/mol}. Substituindo:
n_{o}=\frac{6,02214076\times10^{23}}{18}=3,34563376\times10^{22}\\ \text{moléculas/g}.é
Explicação curta: dividir N_A por 18\\ \mathrm{g/mol} dá quantas moléculas há em 1\\ \mathrm{g} de água.

Passo 3

Convertemos o calor de evaporação para joules por grama, porque o k_B está em \mathrm{J/K} e queremos consistência de unidades:
L = 540\\ \mathrm{cal/g} \times 4,186\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{cal}} = 2260,44\\ \mathrm{J/g}.
Aqui L é a energia necessária para evaporar 1\\ \mathrm{g}.

Passo 4

A relação do enunciado diz L=\eta\cdot n_{o}. Logo
\eta=\frac{L}{n_{o}}.
Substituindo os valores em joule e o n_{o} calculado:
\eta=\frac{2260,44}{3,34563376\times10^{22}}=6,7618\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: \eta é a energia média que cada molécula que escapa deve ter (por molécula), em joules. Para visualização, podemos também converter para elétron-volts:
1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\quad\Rightarrow\quad \eta\approx\frac{6,7618\times10^{-20}}{1,602176634\times10^{-19}}\approx0,422\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Agora calculamos a energia cinética média de uma molécula de \mathrm{H_2O} assumindo a mesma relação dos gases ideais. Para uma molécula (energia translacional média):
\langle E_{\text{cin}}\rangle=\frac{3}{2}k_B T.
Aqui k_B é a constante de Boltzmann (energia por grau Kelvin por molécula) e T é a temperatura absoluta em kelvin. Substituindo:
\langle E_{\text{cin}}\rangle=\frac{3}{2}\times1,380649\times10^{-23}\times300,15 =6,2132\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Explicação curta: a forma \tfrac{3}{2}k_B T vem da teoria cinética dos gases para a energia média por partícula em três graus de liberdade de translação.

Passo 6

Finalmente, a razão pedida é
\frac{\eta}{\langle E_{\text{cin}}\rangle}=\frac{6,7618\times10^{-20}}{6,2132\times10^{-21}}\approx10,88\approx10,9.
Interpretação: a energia média necessária para que uma molécula escape (associada à vaporização) é cerca de 11 vezes a energia cinética média translacional de uma molécula a 27^{\circ}\mathrm{C}. Isso faz sentido físico: só as moléculas com energia bem acima da média conseguem vencer as forças intermoleculares e escapar para a fase vapor.

Passo 7

Resumo didático-final rápido: para achar \eta dividiu-se a energia por grama pela quantidade de moléculas por grama; para comparar com a energia cinética média, usamos a fórmula simples \tfrac32 k_B T (energia média por molécula para um gás ideal). Se ficar nervoso na prova, lembre: converte unidades primeiro (cal→J) e depois trate “por grama” dividindo por número de moléculas por grama (Avogadro/masa molar). Força — isso dá para decorar e aplicar direto!

Resposta

(a) \eta=6,76\times10^{-20}\\ \mathrm{J\\ por\\ molécula}é (aprox. 0,422\\ \mathrm{eV}).
(b) \dfrac{\eta}{\langle E_{\text{cin}}\rangle}\approx10,9 (ou seja, \eta é cerca de 11 vezes maior).

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