*1.96. Supondo que a tensão de apoio admissível para o material sob o apoio em A e B seja \left(\sigma_{b}\right)_{\mathrm{adm}}=400 \mathrm{psi}, determinar a carga máxima \mathbf{P} que pode ser aplicada à viga. As placas de apoio A^{\prime} e B^{\prime} têm seção transversal quadrada de 2 pol \times 2 pol e 4 pol \times 4 pol, respectivamente.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a carga máxima \,P, que pode ser aplicada à viga sabendo que a tensão de apoio admissível sob os apoios A e B é \left(\sigma_{b}\right)_{\mathrm{adm}}=400\\ \mathrm{psi}.
Informações dadas pelo enunciado que vou usar:
  • Placa de apoio em A' tem seção quadrada de 2\\ \mathrm{pol}\times 2\\ \mathrm{pol}.
  • Placa de apoio em B' tem seção quadrada de 4\\ \mathrm{pol}\times 4\\ \mathrm{pol}.
  • \left(\sigma_{b}\right)_{\mathrm{adm}}=400\\ \mathrm{psi}.
Informação ausente e necessária para obter um valor numérico: falta a geometria da viga relacionada à posição da carga P (distância entre os apoios A e B, e distância da carga P em relação a A ou B). Sem essas distâncias não é possível obter um valor numérico único para P. Portanto vou: (a) montar a solução simbólica (fórmula) em função das distâncias; (b) mostrar um exemplo numérico simples (caso particular) para ilustrar como usar a fórmula. Não inventarei a figura nem as distâncias.

Passo 2

Definição de variáveis e equilíbrio estático (aulas rápidas de estática).
  • Seja L a distância entre os apoios A e B (ou seja, o vão entre apoios).
  • Seja a a distância do apoio A até a aplicação da carga P.
  • Seja b a distância do ponto de aplicação de P até o apoio B. Então b=L-a.
Condições de equilíbrio vertical para uma viga simplesmente apoiada com uma única carga vertical P: soma das forças verticais = 0 dá
R_A+R_B-P=0,
onde R_A e R_B são as reações verticais nos apoios A e B. Tomando momentos em A (somatório de momentos em A = 0) obtemos
R_B\cdot L - P\cdot a = 0 \quad\Rightarrow\quad R_B=\frac{P\,a}{L}.
Usando R_A+R_B=P temos
R_A = P - R_B = P - \frac{P\,a}{L} = \frac{P\, (L-a)}{L} = \frac{P\,b}{L}.
Essas fórmulas são padrão em estática de vigas com carga pontual: \,R_A=\dfrac{P\,b}{L} e \,R_B=\dfrac{P\,a}{L}. Aqui eu te explico: o apoio mais próximo da carga suporta proporcionalmente menos porque o momento que a carga cria é equilibrado pela reação do apoio oposto; por isso as reações variam linearmente com as distâncias.

Passo 3

Conceito de tensão de apoio (bearing stress) e limite admissível — aula prática.
A tensão de apoio média sob cada placa é definida por
\sigma = \frac{R}{A},
onde R é a força de reação no apoio (em libras-força, lbf) e A é a área de contato da placa (em \mathrm{in}^2). A condição de segurança é que a tensão de apoio não exceda a admissível:
\frac{R}{A} \le (\sigma_b)_{\mathrm{adm}}.
Rearranjando,
R \le (\sigma_b)_{\mathrm{adm}}\cdot A.
Agora calculamos as áreas das placas (usando as dimensões dadas no enunciado):
  • Área do apoio A: A_A = 2\\ \mathrm{in}\times 2\\ \mathrm{in}=4\\ \mathrm{in}^2.
  • Área do apoio B: A_B = 4\\ \mathrm{in}\times 4\\ \mathrm{in}=16\\ \mathrm{in}^2.
Com (\sigma_b)_{\mathrm{adm}}=400\\ \mathrm{psi}=400\\ \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2, os máximos admissíveis de reação em cada apoio são:
R_{A,\max} = 400\cdot 4 = 1600\\ \mathrm{lbf},
R_{B,\max} = 400\cdot 16 = 6400\\ \mathrm{lbf}.
(Obs.: \mathrm{psi}\times\mathrm{in}^2=\mathrm{lbf}.)

Passo 4

Combinação das fórmulas de reação com os limites admissíveis para obter limite na carga P.
Temos as expressões das reações em função de P:
R_A=\frac{P\,b}{L} \quad\text{e}\quad R_B=\frac{P\,a}{L}.
Impondo R_A\le R_{A,\max} e R_B\le R_{B,\max} obtemos duas desigualdades para P:
Para A:
\frac{P\,b}{L} \le 1600 \quad\Rightarrow\quad P \le \frac{1600\,L}{b} = \frac{1600\,L}{L-a}.
Para B:
\frac{P\,a}{L} \le 6400 \quad\Rightarrow\quad P \le \frac{6400\,L}{a}.
Portanto a carga máxima admissível P_{\max} é o menor (o mínimo) entre essas duas cotas, pois ambas as condições devem ser satisfeitas simultaneamente:
P_{\max}=\min\!\left\{ \frac{1600\,L}{L-a},\\ \frac{6400\,L}{a} \right\}.
Se preferir escrever em termos de (\sigma_b)_{\mathrm{adm}} e das áreas A_A,A_B:
P_{\max}=\min\!\left\{ \frac{(\sigma_b)_{\mathrm{adm}}\,A_A\,L}{L-a},\\ \frac{(\sigma_b)_{\mathrm{adm}}\,A_B\,L}{a} \right\}.

Passo 5

Interpretação prática e exemplo numérico (caso particular) — para você saber usar na prova.
  • Interpretação: o apoio que fica com maior razão reação/área (i.e., que atingir primeiro seu R_{\max}) controla P_{\max}. Se a carga estiver mais próxima de A (pequeno a), então R_A será grande e o limite virá de A; se estiver mais perto de B, o limite pode vir de B. Como B tem área maior, geralmente A é o apoio crítico a menos que P esteja bem próximo de B.
  • Exemplo prático simples: se a carga P estiver aplicada no meio do vão (centro), então a=b=L/2. Substituindo em cada desigualdade:
    P \le \frac{1600\,L}{L/2}=1600\cdot 2=3200\\ \mathrm{lbf},
P \le \frac{6400\,L}{L/2}=6400\cdot 2=12800\\ \mathrm{lbf}.
Logo, no caso central, P_{\max}=3200\\ \mathrm{lbf} (o apoio A, com área menor, controla o limite). Isso é um exemplo de aplicação direta da fórmula no prova — se perguntarem “e se a carga estiver no meio?”, você já sabe calcular.

Resposta

P_{\max}=\min\!\left\{ \frac{1600\,L}{L-a},\\ \frac{6400\,L}{a} \right\}
(onde L é o vão entre A e B e a é a distância de A até a carga P). \n\nNão é possível dar um valor numérico único sem conhecer L e a. \n\nExemplo: se a=L/2 (carga no meio), então P_{\max}=3200\\ \mathrm{lbf}.

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