*1.96. Supondo que a tensão de apoio admissível para o material sob o apoio em
e
seja
, determinar a carga máxima
que pode ser aplicada à viga. As placas de apoio
e
têm seção transversal quadrada de 2 pol
pol e 4 pol
pol, respectivamente.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a carga máxima
, que pode ser aplicada à viga sabendo que a tensão de apoio admissível sob os apoios
e
é
.
Informações dadas pelo enunciado que vou usar:
Informações dadas pelo enunciado que vou usar:
- Placa de apoio em
tem seção quadrada de . - Placa de apoio em
tem seção quadrada de . -
.
Informação ausente e necessária para obter um valor numérico: falta a geometria da viga relacionada à posição da carga
(distância entre os apoios
e
, e distância da carga
em relação a
ou
). Sem essas distâncias não é possível obter um valor numérico único para
. Portanto vou: (a) montar a solução simbólica (fórmula) em função das distâncias; (b) mostrar um exemplo numérico simples (caso particular) para ilustrar como usar a fórmula. Não inventarei a figura nem as distâncias.
Passo 2
Definição de variáveis e equilíbrio estático (aulas rápidas de estática).
- Seja
a distância entre os apoios e (ou seja, o vão entre apoios). - Seja
a distância do apoio até a aplicação da carga . - Seja
a distância do ponto de aplicação de até o apoio . Então
Condições de equilíbrio vertical para uma viga simplesmente apoiada com uma única carga vertical
: soma das forças verticais = 0 dá
onde
e
são as reações verticais nos apoios
e
. Tomando momentos em
(somatório de momentos em
= 0) obtemos
Usando
temos
Essas fórmulas são padrão em estática de vigas com carga pontual:
e
. Aqui eu te explico: o apoio mais próximo da carga suporta proporcionalmente menos porque o momento que a carga cria é equilibrado pela reação do apoio oposto; por isso as reações variam linearmente com as distâncias.
Passo 3
Conceito de tensão de apoio (bearing stress) e limite admissível — aula prática.
A tensão de apoio média sob cada placa é definida por
A tensão de apoio média sob cada placa é definida por
onde
é a força de reação no apoio (em libras-força, lbf) e
é a área de contato da placa (em
). A condição de segurança é que a tensão de apoio não exceda a admissível:
Rearranjando,
Agora calculamos as áreas das placas (usando as dimensões dadas no enunciado):
- Área do apoio
: - Área do apoio
:
Com
, os máximos admissíveis de reação em cada apoio são:
(Obs.:
.)
Passo 4
Combinação das fórmulas de reação com os limites admissíveis para obter limite na carga
.
Temos as expressões das reações em função de :
Temos as expressões das reações em função de
Impondo
e
obtemos duas desigualdades para
:
Para
:
Para
:
Portanto a carga máxima admissível
é o menor (o mínimo) entre essas duas cotas, pois ambas as condições devem ser satisfeitas simultaneamente:
Se preferir escrever em termos de
e das áreas
:
Passo 5
Interpretação prática e exemplo numérico (caso particular) — para você saber usar na prova.
-
Interpretação: o apoio que fica com maior razão reação/área (i.e., que atingir primeiro seu
) controla . Se a carga estiver mais próxima de (pequeno ), então será grande e o limite virá de ; se estiver mais perto de , o limite pode vir de . Como tem área maior, geralmente é o apoio crítico a menos que esteja bem próximo de . -
Exemplo prático simples: se a carga
estiver aplicada no meio do vão (centro), então . Substituindo em cada desigualdade:
Logo, no caso central,
(o apoio
, com área menor, controla o limite). Isso é um exemplo de aplicação direta da fórmula no prova — se perguntarem “e se a carga estiver no meio?”, você já sabe calcular.
Resposta
(onde
é o vão entre
e
e
é a distância de
até a carga
). \n\nNão é possível dar um valor numérico único sem conhecer
e
. \n\nExemplo: se
(carga no meio), então
.