Uma partícula com massa de 4 kg tem um vetor posição em metros dado por
, onde t é o tempo em segundos. Considere O a origem do sistema de coordenadas. No momento em que
:
a) Determine a magnitude (=módulo) do vetor momento angular da partícula em relação a O ,
b) Determine a magnitude do vetor torque de todas as forças atuantes na partícula em relação a O ,
c) Comente o resultado do item b, levando em consideração as direções do vetor posição e do vetor força resultante.
a) Determine a magnitude (=módulo) do vetor momento angular da partícula em relação a O ,
b) Determine a magnitude do vetor torque de todas as forças atuantes na partícula em relação a O ,
c) Comente o resultado do item b, levando em consideração as direções do vetor posição e do vetor força resultante.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula e pede três coisas no instante
:
- Posição:
- Massa:
As perguntas são:
a) Determinar a magnitude do momento angular da partícula em relação a (origem), ou seja
em
.
b) Determinar a magnitude do torque resultante de todas as forças sobre a partícula em relação a , ou seja
em
.
c) Comentar o resultado do item b, levando em conta as direções do vetor posição e do vetor força resultante.
a) Determinar a magnitude do momento angular da partícula em relação a
b) Determinar a magnitude do torque resultante de todas as forças sobre a partícula em relação a
c) Comentar o resultado do item b, levando em conta as direções do vetor posição e do vetor força resultante.
Passo 2
Vamos achar a velocidade
. Regra usada: derivada componente a componente de
e
. Derivadas básicas:
e
.
Calculamos
Passo 3
Agora o momento linear
. Usando
:
O momento angular em relação à origem é
. Para vetores no plano
(com componente
) só resta a componente
do produto vetorial:
Aqui
. Substituindo:
Fatorando o
:
Portanto
Observação didática: usamos a identidade trigonométrica
, por isso o resultado ficou independente de
.
Passo 4
Magnitude do momento angular no instante pedido. Como
é constante em
, em
temos
Explicação extra: o sinal negativo só indica direção
; a magnitude é positiva
.
Passo 5
Agora o torque resultante. Relação fundamental da dinâmica de rotações:
Como
é constante em
, sua derivada é zero:
Podemos também verificar calculando
diretamente. Primeiro a aceleração:
Força resultante
:
Note que
Portanto
é colinear com
e
o que confirma
.
Passo 6
Interpretação física (didática e curta):
- Como
, a força resultante é radial, apontando para o centro (origem). Quando a força é exatamente na direção do vetor posição, o braço de alavanca é efetivamente paralelo à força e o produto vetorial é zero; assim não há torque em relação à origem. - Torquem zero implica
, ou seja o momento angular é conservado (constante no tempo). Aqui aponta em e tem módulo , independente de .
Resposta
a)
b)
c) A força resultante é , ou seja, colinear (radial) com
; portanto
, o que explica o torque nulo e a conservação do momento angular.
b)
c) A força resultante é