Uma partícula com massa de 4 kg tem um vetor posição em metros dado por \vec{r}= \sin t \hat{\imath}+2 \cos t \hat{\jmath}+0 \hat{k}, onde t é o tempo em segundos. Considere O a origem do sistema de coordenadas. No momento em que \mathrm{t}=3 \mathrm{~s} :
a) Determine a magnitude (=módulo) do vetor momento angular da partícula em relação a O ,
b) Determine a magnitude do vetor torque de todas as forças atuantes na partícula em relação a O ,
c) Comente o resultado do item b, levando em consideração as direções do vetor posição e do vetor força resultante.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula e pede três coisas no instante \,t=3\\ \mathrm{s}:
  • Posição: \displaystyle \vec{r}(t)=\sin t\,\hat{\imath}+2\cos t\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}.
  • Massa: \,m=4\\ \mathrm{kg}.
As perguntas são:
a) Determinar a magnitude do momento angular da partícula em relação a O (origem), ou seja |\vec{L}| em t=3\\ \mathrm{s}.
b) Determinar a magnitude do torque resultante de todas as forças sobre a partícula em relação a O, ou seja |\vec{\tau}| em t=3\\ \mathrm{s}.
c) Comentar o resultado do item b, levando em conta as direções do vetor posição e do vetor força resultante.

Passo 2

Vamos achar a velocidade \vec{v}(t). Regra usada: derivada componente a componente de \sin e \cos. Derivadas básicas: \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
Calculamos
\vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dfrac{d}{dt}\big(\sin t\big)\,\hat{\imath}+\dfrac{d}{dt}\big(2\cos t\big)\,\hat{\jmath} =\cos t\,\hat{\imath}-2\sin t\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}.

Passo 3

Agora o momento linear \vec{p}(t)=m\vec{v}(t). Usando \,m=4:
\vec{p}(t)=4\vec{v}(t)=4\cos t\,\hat{\imath}-8\sin t\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}.
O momento angular em relação à origem é \displaystyle \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}. Para vetores no plano xy (com componente z=0) só resta a componente k do produto vetorial:
\vec{L}=(r_x p_y - r_y p_x)\,\hat{k}.
Aqui r_x=\sin t,\; r_y=2\cos t,\; p_x=4\cos t,\; p_y=-8\sin t. Substituindo:
r_x p_y - r_y p_x = \sin t\cdot(-8\sin t) - (2\cos t)\cdot(4\cos t) = -8\sin^2 t - 8\cos^2 t.
Fatorando o -8:
r_x p_y - r_y p_x = -8(\sin^2 t+\cos^2 t) = -8.
Portanto
\vec{L}(t) = -8\,\hat{k}.
Observação didática: usamos a identidade trigonométrica \sin^2 t+\cos^2 t=1, por isso o resultado ficou independente de t.

Passo 4

Magnitude do momento angular no instante pedido. Como \vec{L}(t)=-8\,\hat{k} é constante em t, em t=3\\ \mathrm{s} temos
|\vec{L}| = 8\quad\text{(unidades: }\mathrm{kg\cdot m^2 s^{-1}}\text{)}.
Explicação extra: o sinal negativo só indica direção -\hat{k}; a magnitude é positiva 8.

Passo 5

Agora o torque resultante. Relação fundamental da dinâmica de rotações:
\vec{\tau}_{\text{res}} = \dfrac{d\vec{L}}{dt}.
Como \vec{L}(t)=-8\,\hat{k} é constante em t, sua derivada é zero:
\vec{\tau}_{\text{res}}=\vec{0}\quad\Rightarrow\quad |\vec{\tau}_{\text{res}}|=0.
Podemos também verificar calculando \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F} diretamente. Primeiro a aceleração:
\vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d}{dt}\big(\cos t\,\hat{\imath}-2\sin t\,\hat{\jmath}\big) = -\sin t\,\hat{\imath}-2\cos t\,\hat{\jmath}.
Força resultante \vec{F}=m\vec{a}:
\vec{F}(t)=4\vec{a}(t)=-4\sin t\,\hat{\imath}-8\cos t\,\hat{\jmath}.
Note que \vec{F}(t)=-4\big(\sin t\,\hat{\imath}+2\cos t\,\hat{\jmath}\big)=-4\vec{r}(t). Portanto \vec{F} é colinear com \vec{r} e
\vec{r}\times\vec{F}=\vec{r}\times(-4\vec{r})=-4(\vec{r}\times\vec{r})=\vec{0},
o que confirma |\vec{\tau}_{\text{res}}|=0.

Passo 6

Interpretação física (didática e curta):
  • Como \vec{F}=-4\vec{r}, a força resultante é radial, apontando para o centro (origem). Quando a força é exatamente na direção do vetor posição, o braço de alavanca é efetivamente paralelo à força e o produto vetorial é zero; assim não há torque em relação à origem.
  • Torquem zero implica \dfrac{d\vec{L}}{dt}=0, ou seja o momento angular é conservado (constante no tempo). Aqui \vec{L} aponta em -\hat{k} e tem módulo 8, independente de t.

Resposta

a) |\vec{L}|=8\\ \mathrm{kg\cdot m^2 s^{-1}}
b) |\vec{\tau}_{\text{res}}|=0\\ \mathrm{N\cdot m}
c) A força resultante é \vec{F}=-4\vec{r}, ou seja, colinear (radial) com \vec{r}; portanto \vec{r}\times\vec{F}=\vec{0}, o que explica o torque nulo e a conservação do momento angular.

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