Determine la capacidad soporte última y admisible bajo una carga completamente vertical y centrada para una zapata de 2.5 \mathrm{~m} \times 2.5 \mathrm{~m} con una profundidad de 1.5 m cimentada sobre un suelo con las siguientes propiedades:
  • \varphi=20^{\circ}, \mathrm{c}=25 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}, \gamma=16 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}
    *Utilice la ecuación de Meyerhoff con todos los factores de capacidad de carga, profundidad, inclinación v forma.
    Considere que el nivel freático está a 5 m de la superficie.

Passo 1

Enunciado y datos dados (muy claro, para que no nos perdamos):\n
  • Zapata cuadrada de 2{,}5\\ \mathrm{m}\times 2{,}5\\ \mathrm{m}. Por tanto la largura y la base son B=L=2{,}5\\ \mathrm{m}.\n
  • Profundidad de cimentación D_f=1{,}5\\ \mathrm{m}.\n
  • Suelo con \varphi=20^\circ, c=25\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2, \gamma=16\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.\n
  • Nivel freático a 5\\ \mathrm{m} de la superficie (esto significa que el nivel freático está por debajo de la base de la zapata, ya que la base está a D_f=1{,}5\\ \mathrm{m}; por tanto no aplicamos reducción de peso por flotación en la base).\n
  • Carga completamente vertical y centrada (sin inclinación ni excentricidad).\n
  • Pedido: capacidad de carga última y admisible usando la ecuación de Meyerhof con todos los factores (forma, profundidad, inclinación). No se piden comprobaciones adicionales (asumo factor de seguridad usual para convertir última → admisible).\n

Passo 2

Presentación de la fórmula de Meyerhof y explicación de cada término (aquí aprendemos qué usar).\n
La capacidad última de carga según Meyerhof, con factores de forma, profundidad e inclinación, se expresa como:\n
q_{ult}=c\,N_c\,s_c\,d_c\,i_c + q\,N_q\,s_q\,d_q\,i_q + 0{,}5\,\gamma\,B\,N_\gamma\,s_\gamma\,d_\gamma\,i_\gamma\n
Explicación de cada símbolo (muy didáctico):\n
  • q_{ult}: presión última admisible por la base (capacidad última).\n
  • c: cohesión del suelo (aquí 25\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2).\n
  • q: sobrecarga efectiva en la base debida al peso del suelo, normalmente q=\gamma D_f si el nivel freático está por debajo de la base.\n
  • \gamma: peso volumétrico del suelo (aquí 16\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3).\n
  • B: ancho de la zapata en la dirección considerada (aquí 2{,}5\\ \mathrm{m}).\n
  • N_c,N_q,N_\gamma: factores de capacidad de carga (dependen de \varphi). Enseguida calculamos.\n
  • s_c,s_q,s_\gamma: factores de forma (ajustan para zapatas rectangulares/cuadradas).\n
  • d_c,d_q,d_\gamma: factores de profundidad (ajustan por el efecto de enterramiento D_f/B).\n
  • i_c,i_q,i_\gamma: factores de inclinación de la carga (si la carga fuera inclinada o excéntrica). Como la carga es vertical y centrada, estos factores valen 1.\n

Passo 3

Cálculo de los factores de capacidad de carga N_q, N_c y N_\gamma (fórmulas y cálculo paso a paso).\n
Primero calculamos \tan\varphi con \varphi=20^\circ:\n
\tan\varphi=\tan 20^\circ \approx 0{,}36397\n
Fórmula clásica (Terzaghi / Meyerhof) para N_q:\n
N_q = e^{\pi \tan\varphi}\,\tan^2\!\bigl(45^\circ+\tfrac{\varphi}{2}\bigr)\n
Calculamos paso a paso:\n
\pi\tan\varphi \approx 3{,}14159\times 0{,}36397 \approx 1{,}1430\n
e^{\pi\tan\varphi} \approx e^{1{,}1430} \approx 3{,}1359\n
\tan\bigl(45^\circ+\tfrac{20^\circ}{2}\bigr)=\tan 55^\circ \approx 1{,}42815\n
\tan^2 55^\circ \approx 1{,}42815^2 \approx 2{,}0406\n
N_q \approx 3{,}1359\times 2{,}0406 \approx 6{,}397\n
Ahora N_c y N_\gamma (fórmulas estándar):\n
N_c = \frac{N_q - 1}{\tan\varphi}\n
N_\gamma = 2\,(N_q + 1)\tan\varphi\n
Sustituimos:\n
N_c \approx \frac{6{,}397 - 1}{0{,}36397} \approx \frac{5{,}397}{0{,}36397}\approx 14{,}84\n
N_\gamma \approx 2\,(6{,}397 + 1)\times 0{,}36397 \approx 2\times 7{,}397\times 0{,}36397 \approx 5{,}39\n
Resumen numérico:\n
N_q\approx 6{,}40,\quad N_c\approx 14{,}84,\quad N_\gamma\approx 5{,}39\n
(He redondeado a 3 cifras significativas para mantener claridad.)

Passo 4

Factores de forma s_c,s_q,s_\gamma para zapata cuadrada (explico la elección y calculo).\n
Meyerhof propone factores de forma que dependen de la relación B/L. Para zapata cuadrada B/L=1. Usaremos las fórmulas comunes:\n
s_c = 1 + 0{,}2\frac{B}{L},\qquad s_q = 1 + 0{,}1\frac{B}{L},\qquad s_\gamma = 1 - 0{,}3\frac{B}{L}\n
Sustituyendo \frac{B}{L}=1:\n
s_c = 1 + 0{,}2 = 1{,}20,\quad s_q = 1 + 0{,}1 = 1{,}10,\quad s_\gamma = 1 - 0{,}3 = 0{,}70\n
Breve nota didáctica: los factores de forma corrigen la contribución de cada término según la geometría; en zapata cuadrada la contribución de c y q aumenta ligeramente (s_c, s_q>1) y la del término de \gamma suele reducirse (s_\gamma<1).

Passo 5

Factores de profundidad d_c,d_q,d_\gamma y cálculo.\n
Usaremos las expresiones prácticas frecuentes en mecánica de suelos para zapatas poco profundas:\n
d_c = 1 + 0{,}2\frac{D_f}{B},\qquad d_q = 1 + 0{,}1\frac{D_f}{B},\qquad d_\gamma = 1\n
Calculamos \frac{D_f}{B}=\dfrac{1{,}5}{2{,}5}=0{,}6.\n
d_c = 1 + 0{,}2\times 0{,}6 = 1{,}12\n
d_q = 1 + 0{,}1\times 0{,}6 = 1{,}06\n
d_\gamma = 1{,}00\n
Comentario pedagógico: estos factores aumentan la capacidad cuando la zapata está más enterrada; aquí hay un efecto moderado porque D_f/B=0{,}6.

Passo 6

Factores de inclinación i_c,i_q,i_\gamma.\n
Dado que la carga es totalmente vertical y centrada, no hay componente horizontal ni excentricidad, por lo que:\n
i_c=i_q=i_\gamma=1\n
(Si la carga estuviera inclinada se multiplicaría por factores menores que 1; como no es el caso, no los necesitamos.)

Passo 7

Cálculo de la sobrecarga en la base q (no confundir con q_{ult}).\n
La sobrecarga debida al peso del suelo hasta la base es:\n
q=\gamma D_f = 16\\ \mathrm{kN/m^3}\times 1{,}5\\ \mathrm{m} = 24\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2

Passo 8

Cálculo de cada término de la ecuación de Meyerhof (con números mostrados paso a paso).\n
Término de cohesión:\n
cN_c s_c d_c i_c = 25\times 14{,}84 \times 1{,}20 \times 1{,}12 \times 1\n
Cálculo intermedio:\n
25\times 14{,}84 = 370{,}99\n
370{,}99\times 1{,}20 = 445{,}19\n
445{,}19\times 1{,}12 \approx 498{,}42\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
Término de sobrecarga q:\n
qN_q s_q d_q i_q = 24\times 6{,}397 \times 1{,}10 \times 1{,}06 \times 1\n
Intermedios:\n
24\times 6{,}397 \approx 153{,}53\n
153{,}53\times 1{,}10 \approx 168{,}88\n
168{,}88\times 1{,}06 \approx 179{,}11\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
Término de peso \gamma:\n
0{,}5\,\gamma\,B\,N_\gamma\,s_\gamma\,d_\gamma\,i_\gamma = 0{,}5\times 16\times 2{,}5 \times 5{,}39 \times 0{,}70 \times 1 \times 1\n
Intermedios:\n
0{,}5\times 16\times 2{,}5 = 20\n
20\times 5{,}39 \approx 107{,}8\n
107{,}8\times 0{,}70 \approx 75{,}46\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
(He mantenido coherencia con los redondeos anteriores; ligeras diferencias de 0,01–0,1 son normales.)

Passo 9

Suma de los términos para obtener \;q_{ult}\; y conversión a capacidad admisible (didáctico: elección del factor de seguridad).\n
Sumamos los tres términos:\n
q_{ult}\approx 498{,}42 + 179{,}11 + 75{,}46 \approx 752{,}99\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
Redondeando, podemos presentar \;q_{ult}\approx 753\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.\n
Para pasar a capacidad admisible (a la que se diseña), usamos un factor de seguridad. En ingeniería geotécnica es habitual usar FS\approx 3{,}0 para zapatas (valor típico; si el examen o la norma pide otro, ajustar). Entonces:\n
q_{adm}=\frac{q_{ult}}{FS}=\frac{752{,}99}{3{,}0}\approx 250{,}99\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
Redondeando:\n
q_{adm}\approx 251\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
Pequeña nota útil: si el nivel freático hubiera estado por encima de la base, habría que usar pesos efectivos (reduciendo \gamma y q) y corregir; como el freático está a 5\\ \mathrm{m}, esto no ocurre aquí.

Resposta

q_{ult}\approx 753\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2\n
q_{adm}\approx 251\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2

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