A barra rígida é apoiada por dois postes curtos de madeira e por uma mola. Supondo que cada poste tenha comprimento de 500 mm sem carga e uma área da seção transversal de 800 \mathrm{~mm}^{2}, e a mola tenha uma rigidez de k= 1,8 \mathrm{MN} / \mathrm{m} e um comprimento sem estiramento de 520 mm , determinar
a força em cada poste depois que a carga for aplicada à barra. E_{\text {mad }}=11 \mathrm{GPa}.

Passo 1

Vamos organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Cada poste tem comprimento sem carga \,L=500\\ \mathrm{mm}.
    • Área da seção de cada poste \,A=800\\ \mathrm{mm}^{2}.
    • Módulo de Young da madeira \,E_{\text{mad}}=11\\ \mathrm{GPa}.
    • A mola tem rigidez \,k_{\text{mola}}=1{,}8\\ \mathrm{MN/m} e comprimento sem estiramento 520\\ \mathrm{mm} (o comprimento da mola sem carga só importa para saber que ela pode comprimir; a rigidez já está dada).
    • A barra é rígida e apoiada por dois postes idênticos e pela mola; após aplicação da carga a barra permanece rígida de modo que todos os apoios sofrem a mesma compressão vertical \,\delta.
  • O que nos pedem:
    • Determinar a força em cada poste depois que a carga for aplicada à barra.
  • Observação importante:
    • O enunciado não fornece o valor numérico da carga aplicada. Não vou pedir mais informação (conforme você pediu); então vou obter a força em cada poste em função da carga aplicada, denotando essa carga por \,P. Se você tiver depois um valor concreto de \,P, basta substituir.

Passo 2

Modelagem física e ideia do método (explicação didática e simples).
  • Como a barra é rígida, a deformação vertical na parte de cima de cada apoio (os dois postes e a mola) é a mesma; chamo essa compressão comum de \,\delta.
  • Para um elemento elástico linear (poste em compressão axial), a relação entre força e deslocamento é linear e dada por uma constante de rigidez axial: k_{\text{poste}}=\frac{AE}{L},onde:
    • \,A é a área da seção transversal do poste (em \mathrm{m}^2),
    • \,E é o módulo de Young do material (em \mathrm{Pa}),
    • \,L é o comprimento do poste (em \mathrm{m}).
      Essa fórmula vem direto da lei de Hooke para tração/compressão axial: força F = (AE/L)\,\delta.
  • A mola tem rigidez já dada: força F_{\text{mola}}=k_{\text{mola}}\;\delta.
  • Como todos os três apoios têm o mesmo deslocamento \delta, as forças nos apoios são: F_{\text{poste}}=k_{\text{poste}}\,\delta\quad(\text{cada poste})
F_{\text{mola}}=k_{\text{mola}}\,\delta.
  • Equilíbrio vertical (somatório das reações = carga aplicada): 2F_{\text{poste}}+F_{\text{mola}}=P.Substituindo as expressões em \delta: (2k_{\text{poste}}+k_{\text{mola}})\,\delta = P.Assim \,\delta e as forças ficam proporcionais a \,P.

Passo 3

Conversão das unidades para o SI e cálculo da rigidez de um poste.
  • Converter \,A, \,L, \,E para unidades do SI: A = 800\\ \mathrm{mm}^2 = 800\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2,
L = 500\\ \mathrm{mm} = 0{,}500\\ \mathrm{m},
E = 11\\ \mathrm{GPa} = 11\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular a rigidez axial de um poste usando \,k_{\text{poste}}=AE/L: k_{\text{poste}}=\frac{(8{,}0\times10^{-4})(11\times10^{9})}{0{,}5}.Faço as contas passo a passo: (8{,}0\times10^{-4})\cdot(11\times10^{9}) = 8{,}0\cdot11\times10^{5} = 88\times10^{5} = 8{,}8\times10^{6}.Dividindo por 0{,}5: k_{\text{poste}} = \frac{8{,}8\times10^{6}}{0{,}5} = 17{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{N/m} = 17{,}6\\ \mathrm{MN/m}.

Passo 4

Registrar a rigidez da mola e a rigidez total equivalente em paralelo.
  • A rigidez da mola já dada: k_{\text{mola}} = 1{,}8\\ \mathrm{MN/m} = 1{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{N/m}.
  • Como os três apoios trabalham com o mesmo deslocamento (são “em paralelo” para deslocamento comum), a rigidez total equivalente vista pela barra é: K_{\text{total}} = 2k_{\text{poste}} + k_{\text{mola}}.Substituindo valores: K_{\text{total}} = 2(17{,}6\times10^{6}) + 1{,}8\times10^{6} = 35{,}2\times10^{6} + 1{,}8\times10^{6} = 37{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{N/m} = 37{,}0\\ \mathrm{MN/m}.

Passo 5

Determinar a compressão comum \delta em função da carga aplicada \,P e as forças em cada apoio.
  • Da equação de equilíbrio: \delta = \frac{P}{K_{\text{total}}} = \frac{P}{37{,}0\times10^{6}}\\ \mathrm{m}.
  • Força em cada poste: F_{\text{poste}} = k_{\text{poste}}\;\delta = k_{\text{poste}}\;\frac{P}{K_{\text{total}}} = \frac{k_{\text{poste}}}{2k_{\text{poste}}+k_{\text{mola}}}\;P.Substituindo valores numéricos para a razão: \frac{k_{\text{poste}}}{2k_{\text{poste}}+k_{\text{mola}}} = \frac{17{,}6}{37{,}0}\approx 0{,}4757.Logo: F_{\text{poste}} \approx 0{,}4757\,P \approx 47{,}57\%\;P.
  • (Opcional, para intuição) Força na mola: F_{\text{mola}} = k_{\text{mola}}\;\delta = \frac{k_{\text{mola}}}{2k_{\text{poste}}+k_{\text{mola}}}\;P = \frac{1{,}8}{37{,}0}\,P\approx0{,}04865\,P\approx4{,}865\%\;P.Confere que 2F_{\text{poste}}+F_{\text{mola}} = P (verificação rápida: 2\cdot0{,}4757+0{,}04865\approx1{,}000).

Passo 6

Interpretação prática e dica para prova (como fazer rápido na hora).
  • Resumo prático que você pode aplicar em prova:
    1. Converta tudo para o SI (m, m^2, Pa).
    2. Calcule a rigidez de cada poste com \,k_{\text{poste}}=AE/L.
    3. Some rigidezes em paralelo: K_{\text{total}}=2k_{\text{poste}}+k_{\text{mola}}.
    4. A força em cada poste é a fração \,k_{\text{poste}}/K_{\text{total}} multiplicada por \,P.
  • Se for pedido o deslocamento, use \,\delta=P/K_{\text{total}}.
  • Não esquece de conferir unidades no final.

Resposta

F_{\text{poste}}=\frac{k_{\text{poste}}}{2k_{\text{poste}}+k_{\text{mola}}}\;P =\frac{17{,}6}{37{,}0}\;P\approx0{,}4757\,P\approx0{,}476\,P

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