A barra rígida é apoiada por dois postes curtos de madeira e por uma mola. Supondo que cada poste tenha comprimento de 500 mm sem carga e uma área da seção transversal de
, e a mola tenha uma rigidez de
e um comprimento sem estiramento de 520 mm , determinar
a força em cada poste depois que a carga for aplicada à barra.
.
a força em cada poste depois que a carga for aplicada à barra.
Passo 1
Vamos organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Cada poste tem comprimento sem carga
. - Área da seção de cada poste
. - Módulo de Young da madeira
. - A mola tem rigidez
e comprimento sem estiramento (o comprimento da mola sem carga só importa para saber que ela pode comprimir; a rigidez já está dada). - A barra é rígida e apoiada por dois postes idênticos e pela mola; após aplicação da carga a barra permanece rígida de modo que todos os apoios sofrem a mesma compressão vertical
.
- Cada poste tem comprimento sem carga
- O que nos pedem:
- Determinar a força em cada poste depois que a carga for aplicada à barra.
- Observação importante:
- O enunciado não fornece o valor numérico da carga aplicada. Não vou pedir mais informação (conforme você pediu); então vou obter a força em cada poste em função da carga aplicada, denotando essa carga por
. Se você tiver depois um valor concreto de , basta substituir.
- O enunciado não fornece o valor numérico da carga aplicada. Não vou pedir mais informação (conforme você pediu); então vou obter a força em cada poste em função da carga aplicada, denotando essa carga por
Passo 2
Modelagem física e ideia do método (explicação didática e simples).
- Como a barra é rígida, a deformação vertical na parte de cima de cada apoio (os dois postes e a mola) é a mesma; chamo essa compressão comum de
. - Para um elemento elástico linear (poste em compressão axial), a relação entre força e deslocamento é linear e dada por uma constante de rigidez axial:
onde: -
é a área da seção transversal do poste (em ), -
é o módulo de Young do material (em ), -
é o comprimento do poste (em ).
Essa fórmula vem direto da lei de Hooke para tração/compressão axial: força.
-
- A mola tem rigidez já dada: força
. - Como todos os três apoios têm o mesmo deslocamento
, as forças nos apoios são:
- Equilíbrio vertical (somatório das reações = carga aplicada):
Substituindo as expressões em : Assim e as forças ficam proporcionais a .
Passo 3
Conversão das unidades para o SI e cálculo da rigidez de um poste.
- Converter
, , para unidades do SI:
- Calcular a rigidez axial de um poste usando
: Faço as contas passo a passo: Dividindo por :
Passo 4
Registrar a rigidez da mola e a rigidez total equivalente em paralelo.
- A rigidez da mola já dada:
- Como os três apoios trabalham com o mesmo deslocamento (são “em paralelo” para deslocamento comum), a rigidez total equivalente vista pela barra é:
Substituindo valores:
Passo 5
Determinar a compressão comum
em função da carga aplicada
e as forças em cada apoio.
- Da equação de equilíbrio:
- Força em cada poste:
Substituindo valores numéricos para a razão: Logo: - (Opcional, para intuição) Força na mola:
Confere que (verificação rápida: ).
Passo 6
Interpretação prática e dica para prova (como fazer rápido na hora).
- Resumo prático que você pode aplicar em prova:
- Converta tudo para o SI (m, m^2, Pa).
- Calcule a rigidez de cada poste com
. - Some rigidezes em paralelo:
. - A força em cada poste é a fração
multiplicada por .
- Se for pedido o deslocamento, use
. - Não esquece de conferir unidades no final.