Tendo em vista que a relação entre uma tensão e uma deformação elástica (Lei de Hooke) ao longo duma direção x (qualquer) se escreve como \sigma_{x}=E \varepsilon_{x}, pede-se: (a) mostrar que a expressão da Energia Potencial de Deformação por unidade de volume (slide 23 da Apresentação 4), U, pode ser expressa das seguintes maneiras alternativas: (i) U=\frac{1}{2} E \varepsilon_{x}^{2}; (ii) U=\frac{1}{2} \frac{\sigma_{x}^{2}}{E}; (b) qual é a unidade de medida de U no SI (lembre-se que energia no SI é dada em J ( Joules )= N.m)?

Passo 1

O enunciado trata da energia potencial de deformação por unidade de volume (energia de distorção elástica) em deformação uniaxial, cujo conteúdo principal é a Lei de Hooke em uma direção x:
\sigma_{x}=E\,\varepsilon_{x}.
Queremos mostrar que
(i) U=\tfrac12\,E\,\varepsilon_{x}^{2},
(ii) U=\tfrac12\,\dfrac{\sigma_{x}^{2}}{E},
e em seguida determinar a unidade de U no SI.

Passo 2

Definimos a densidade de energia de deformação U como o trabalho elástico por unidade de volume para ir de deformação nula até \varepsilon_{x}. Matematicamente,
U = \int_{0}^{\varepsilon_{x}} \sigma_{x}\,d\varepsilon_{x}.

Passo 3

Substituindo a Lei de Hooke \sigma_{x}=E\,\varepsilon_{x} dentro da integral:
U = \int_{0}^{\varepsilon_{x}} \bigl(E\,\varepsilon_{x}\bigr)\,d\varepsilon_{x} = E \int_{0}^{\varepsilon_{x}} \varepsilon_{x}\,d\varepsilon_{x} = E \left[\tfrac12\,\varepsilon_{x}^{2}\right]_{0}^{\varepsilon_{x}} = \tfrac12\,E\,\varepsilon_{x}^{2}.
Logo, obtemos a forma (i).

Passo 4

Para achar a forma (ii), basta usar \varepsilon_{x}=\sigma_{x}/E na expressão anterior:
U = \tfrac12\,E\!\bigl(\tfrac{\sigma_{x}}{E}\bigr)^{2} = \tfrac12\,\frac{\sigma_{x}^{2}}{E}.

Passo 5

No SI, energia tem unidade de joule ( \text{J}=\text{N}\!\cdot\!\text{m}) e U é energia por volume, logo sua unidade é
\frac{\text{J}}{\text{m}^{3}} \;=\; \frac{\text{N}\!\cdot\!\text{m}}{\text{m}^{3}} \;=\; \frac{\text{N}}{\text{m}^{2}} \;=\; \text{Pa}.

Resposta

(i) \displaystyle U=\tfrac12\,E\,\varepsilon_{x}^{2}.
(ii) \displaystyle U=\tfrac12\,\dfrac{\sigma_{x}^{2}}{E}.
Unidade no SI: \text{J}/\text{m}^{3} (equivalente a \text{Pa}).

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