3-99 A 40-\mathrm{cm}-diameter, 90-\mathrm{cm}-high vertical cylindrical container is partially filled with 60 -cm-high water. Now the cylinder is rotated at a constant angular speed of 120 rpm . Determine how much the liquid level at the center of the cylinder will drop as a result of this rotational motion.

Passo 1

O enunciado pede: determinar quanto a superfície do líquido no centro do cilindro cai (ou seja, a queda do nível no eixo) quando o cilindro, inicialmente com água de altura 60\\ \text{cm}, é girado a 120\\ \text{rpm}. Informações dadas e importantes:
  • diâmetro do cilindro =40\\ \text{cm} (logo raio R=20\\ \text{cm});
  • altura inicial do líquido h_{\text{inicial}}=60\\ \text{cm};
  • rotação constante =120\\ \text{rpm}.
    Devemos usar conservação de volume do líquido e a forma da superfície livre de um líquido em rotação uniforme para achar a nova altura no centro h(0) e então a diferença \Delta h = h_{\text{inicial}} - h(0).

Passo 2

Entender a forma da superfície livre em rotação: quando um líquido gira de forma rígida com velocidade angular constante \omega, a superfície livre em equilíbrio tem forma parabólica. Vou mostrar por que isso ocorre usando as equações de equilíbrio hidrostático no referencial em rotação (passo a passo didático). As equações diferenciais para a pressão p(r,z) em coordenadas cilíndricas são:
\frac{\partial p}{\partial r}=\rho \,\omega^{2} r
\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g
Aqui \rho é a densidade do líquido, r é a distância radial ao eixo, z é a altura vertical, g é a aceleração da gravidade e \omega é a velocidade angular. Essas equações dizem que a variação radial da pressão é causada pela força centrífuga \rho\omega^{2}r e a variação vertical pela gravidade.

Passo 3

Encontrar a equação da superfície livre: na superfície livre a pressão é constante (pressão atmosférica), então, entre dois pontos sobre a superfície (por exemplo centro r=0 e um ponto genérico r), a mudança de pressão é zero. Integrando a combinação das equações acima entre 0 e r obtemos:
0=\int_{0}^{r}\frac{\partial p}{\partial r'}\,\mathrm{d}r' + \int_{z(0)}^{z(r)}\frac{\partial p}{\partial z'}\,\mathrm{d}z'
Substituindo os termos:
0=\int_{0}^{r}\rho \,\omega^{2} r'\,\mathrm{d}r' + \int_{z(0)}^{z(r)}(-\rho g)\,\mathrm{d}z'
Dividindo por \rho e integrando:
0=\frac{\omega^{2} r^{2}}{2} - g\bigl(z(r)-z(0)\bigr)
Isolando z(r):
z(r)=z(0)+\frac{\omega^{2} r^{2}}{2g}
Ou seja, a superfície é uma parábola de revolução com vértice no eixo: a altura no raio r aumenta com r^{2}.

Passo 4

Interpretar z(0): z(0) é a altura da superfície no centro (o que queremos achar). A altura inicial média do líquido antes da rotação é h_{\text{inicial}}. Após a rotação, a altura varia com r conforme a fórmula acima; como não há perda de líquido, o volume do líquido permanece o mesmo. Isso nos dá uma equação de conservação de volume que relaciona z(0) com h_{\text{inicial}}.

Passo 5

Escrever a condição de conservação de volume: o volume do líquido é igual ao volume sob a superfície z(r) sobre o disco de raio R. O volume pode ser obtido integrando a altura sobre a área:
V=\int_{0}^{R} 2\pi r\, z(r)\,\mathrm{d}r.
Antes da rotação o volume era V=\pi R^{2} h_{\text{inicial}}. Igualando:
\pi R^{2} h_{\text{inicial}}=\int_{0}^{R} 2\pi r\left[z(0)+\frac{\omega^{2} r^{2}}{2g}\right]\mathrm{d}r.

Passo 6

Calcular a integral do lado direito (mostrando cada passo): separamos a integral em duas partes:
\int_{0}^{R} 2\pi r\,z(0)\,\mathrm{d}r = 2\pi z(0)\int_{0}^{R} r\,\mathrm{d}r = 2\pi z(0)\left[\frac{R^{2}}{2}\right]=\pi R^{2} z(0).
A segunda parte:
\int_{0}^{R} 2\pi r\left(\frac{\omega^{2} r^{2}}{2g}\right)\mathrm{d}r = \frac{\pi \omega^{2}}{g}\int_{0}^{R} r^{3}\,\mathrm{d}r = \frac{\pi \omega^{2}}{g}\left[\frac{R^{4}}{4}\right]=\frac{\pi \omega^{2} R^{4}}{4g}.
Somando as duas partes obtemos:
\pi R^{2} h_{\text{inicial}} = \pi R^{2} z(0) + \frac{\pi \omega^{2} R^{4}}{4g}.

Passo 7

Isolar z(0) usando a equação anterior: dividindo tudo por \pi R^{2},
h_{\text{inicial}} = z(0) + \frac{\omega^{2} R^{2}}{4g}.
Logo
z(0)=h_{\text{inicial}} - \frac{\omega^{2} R^{2}}{4g}.
A queda do nível no centro é
\Delta h = h_{\text{inicial}} - z(0) = \frac{\omega^{2} R^{2}}{4g}.
Observe que essa expressão não depende da densidade \rho: por conservação de volume e forma parabólica, a queda central é determinada só por \omega, R e g.

Passo 8

Agora calculamos numericamente. Primeiro convertemos unidades e \omega: o raio
R=20\\ \text{cm}=0,20\\ \text{m}.
A rotação 120\\ \text{rpm} é 120/60=2 revoluções por segundo, portanto
\omega=2\cdot 2\pi =4\pi\\ \text{rad/s}.
Usaremos g=9,81\\ \text{m/s}^{2}. Substituindo na fórmula
\Delta h = \frac{\omega^{2} R^{2}}{4g}=\frac{(4\pi)^{2}\,(0,20)^{2}}{4\cdot 9,81}.

Passo 9

Fazendo as contas passo a passo (aproximações mostradas):
(4\pi)^{2}=16\pi^{2}\approx 16\cdot 9,8696\approx 157,91,
R^{2}=(0,20)^{2}=0,04,
\omega^{2}R^{2}\approx 157,91\cdot 0,04\approx 6,3164,
4g=4\cdot 9,81=39,24,
\Delta h \approx \frac{6,3164}{39,24}\approx 0,1609\\ \text{m}.
Convertendo para centímetros:
\Delta h \approx 0,1609\\ \text{m}=16,09\\ \text{cm}.
Arredondando a um número razoável de algarismos significativos (duas casas):
\Delta h \approx 16,1\\ \text{cm}.

Passo 10

Interpretação rápida (sem resolver nada novo): o nível no centro cai \approx 16,1\\ \text{cm}, portanto a nova altura central será 60\\ \text{cm} - 16,1\\ \text{cm} \approx 43,9\\ \text{cm}. A superfície sobe nas bordas simetricamente de modo a conservar o volume.

Resposta

16{,}1\\ \text{cm}

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