3-99 A
-diameter,
-high vertical cylindrical container is partially filled with 60 -cm-high water. Now the cylinder is rotated at a constant angular speed of 120 rpm . Determine how much the liquid level at the center of the cylinder will drop as a result of this rotational motion.
Passo 1
O enunciado pede: determinar quanto a superfície do líquido no centro do cilindro cai (ou seja, a queda do nível no eixo) quando o cilindro, inicialmente com água de altura
, é girado a
. Informações dadas e importantes:
- diâmetro do cilindro
(logo raio ); - altura inicial do líquido
; - rotação constante
.
Devemos usar conservação de volume do líquido e a forma da superfície livre de um líquido em rotação uniforme para achar a nova altura no centroe então a diferença .
Passo 2
Entender a forma da superfície livre em rotação: quando um líquido gira de forma rígida com velocidade angular constante
, a superfície livre em equilíbrio tem forma parabólica. Vou mostrar por que isso ocorre usando as equações de equilíbrio hidrostático no referencial em rotação (passo a passo didático). As equações diferenciais para a pressão
em coordenadas cilíndricas são:
Aqui
é a densidade do líquido,
é a distância radial ao eixo,
é a altura vertical,
é a aceleração da gravidade e
é a velocidade angular. Essas equações dizem que a variação radial da pressão é causada pela força centrífuga
e a variação vertical pela gravidade.
Passo 3
Encontrar a equação da superfície livre: na superfície livre a pressão é constante (pressão atmosférica), então, entre dois pontos sobre a superfície (por exemplo centro
e um ponto genérico
), a mudança de pressão é zero. Integrando a combinação das equações acima entre
e
obtemos:
Substituindo os termos:
Dividindo por
e integrando:
Isolando
:
Ou seja, a superfície é uma parábola de revolução com vértice no eixo: a altura no raio
aumenta com
.
Passo 4
Interpretar
:
é a altura da superfície no centro (o que queremos achar). A altura inicial média do líquido antes da rotação é
. Após a rotação, a altura varia com
conforme a fórmula acima; como não há perda de líquido, o volume do líquido permanece o mesmo. Isso nos dá uma equação de conservação de volume que relaciona
com
.
Passo 5
Escrever a condição de conservação de volume: o volume do líquido é igual ao volume sob a superfície
sobre o disco de raio
. O volume pode ser obtido integrando a altura sobre a área:
Antes da rotação o volume era
. Igualando:
Passo 6
Calcular a integral do lado direito (mostrando cada passo): separamos a integral em duas partes:
A segunda parte:
Somando as duas partes obtemos:
Passo 7
Isolar
usando a equação anterior: dividindo tudo por
,
Logo
A queda do nível no centro é
Observe que essa expressão não depende da densidade
: por conservação de volume e forma parabólica, a queda central é determinada só por
,
e
.
Passo 8
Agora calculamos numericamente. Primeiro convertemos unidades e
: o raio
A rotação
é
revoluções por segundo, portanto
Usaremos
. Substituindo na fórmula
Passo 9
Fazendo as contas passo a passo (aproximações mostradas):
Convertendo para centímetros:
Arredondando a um número razoável de algarismos significativos (duas casas):
Passo 10
Interpretação rápida (sem resolver nada novo): o nível no centro cai
, portanto a nova altura central será
. A superfície sobe nas bordas simetricamente de modo a conservar o volume.