3-92C Consider two identical glasses of water, one stationary and the other moving on a horizontal plane with constant acceleration. Assuming no splashing or spilling occurs, which glass will have a higher pressure at the (a) front, (b) midpoint, and (c) back of the bottom surface?
Passo 1
O enunciado dá duas taças idênticas cheias de água: uma fica estacionária e a outra move-se num plano horizontal com aceleração constante. Não há respingos nem derramamento. Pergunta-se qual das duas apresenta maior pressão nos pontos da base correspondentes a (a) frente, (b) meio (ponto central) e (c) trás da superfície inferior da água.
Informações relevantes que temos (listadas explicitamente):
Informações relevantes que temos (listadas explicitamente):
- A aceleração da taça em movimento tem magnitude
e direção horizontal (escolhemos a direção positiva para a frente da taça). - A gravidade tem intensidade
e atua verticalmente para baixo. - A densidade do líquido é
. - A pressão na superfície livre é a pressão atmosférica
. - As duas taças são idênticas (mesmo volume e geometria).
- Não há perda de líquido, então o volume de água em cada taça é o mesmo.
Passo 2
Conceito-chave: em um referencial acelerado (o referencial que se move com a taça acelerada) podemos incluir uma “força fictícia” por unidade de massa
que, somada à gravidade, define um campo de aceleração efetiva
. Isso permite usar as fórmulas da hidrostática substituindo
por
.
Definições e notação (para sermos concretos):
- Tomemos um sistema de eixos com
horizontal apontando para a frente da taça (direção da aceleração) e vertical apontando para cima. - A gravidade é
. - A taça acelera para a frente com
. No referencial acelerado da taça aparece a aceleração fictícia . - Portanto a aceleração efetiva que determina a pressão é
Equação fundamental da hidrostática no referencial acelerado: a variação espacial da pressão satisfaz
Escrevendo componentes:
Integramos essas equações para obter o campo de pressão. Integrando primeiro em
:
onde
é função só de
. Derivando isso em relação a
e usando
dá
, logo
. Portanto
em que
é constante a determinar por condições de contorno (por exemplo a pressão na superfície livre).
Passo 3
Obter a forma da superfície livre e relacioná-la com a taça estacionária. Na superfície livre
vale
. Então, substituindo:
Como
é constante, derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isto mostra que a superfície livre é uma reta inclinada com declive
: quando a taça acelera para a frente (
), a superfície fica mais alta na parte de trás e mais baixa na frente — resultado físico intuitivo (o líquido “se empilha” na parte traseira).
Agora vamos comparar pressões na base. Para fixar coordenadas, tomemos:
- plano da base em
, -
no ponto médio (meio) da base, - a frente em
e a trás em , onde é a largura interna da taça na direção .
Usando a expressão geral do passo anterior e impondo que a altura média (volume) da água é a mesma nas duas taças, vemos que a constante
ajusta-se de modo que a altura no meio da taça em aceleração seja igual à altura
da taça estacionária. Mais formalmente, como a superfície tem declive linear, a média de
sobre
é simplesmente o valor no meio; conservação de volume implica que o valor central
é igual à altura uniforme
da taça estacionária. Logo podemos identificar
.
Voltando à pressão no fundo (
), a expressão geral dá
Para a taça estacionária a pressão no fundo (em qualquer
) é simplesmente
Podemos relacionar
a
observando que no ponto médio
da taça em aceleração a pressão será igual à pressão no fundo da taça estacionária (porque
e
na superfície é
); assim
, o que implica
. Portanto
Agora avalie nos pontos pedidos:
- ponto da frente:
. Então
Portanto a pressão na frente da taça em movimento é menor que a pressão correspondente na taça estacionária.
- ponto do meio:
. Então
Portanto no ponto central as pressões são iguais.
- ponto de trás:
. Então
Portanto a pressão na traseira da taça em movimento é maior que na taça estacionária.
(Física-intuitiva: a aceleração “empurra” o fluido para trás, aumentando a profundidade e a pressão lá; na frente o volume local diminui, reduzindo a pressão; no meio fica igual ao caso estacionário.)
Passo 4
Resumo qualitativo e confirmação final:
- Frente: a pressão no fundo da taça que está se acelerando é menor do que na taça estacionária (pois a superfície está mais baixa na frente).
- Meio: as pressões são iguais (a altura central é igual pela conservação do volume).
- Trás: a pressão no fundo da taça acelerada é maior do que na taça estacionária (a água se acumula lá).
Resposta
(a) Frente: a taça estacionária tem maior pressão.
(b) Meio: as pressões são iguais.
(c) Trás: a taça em aceleração tem maior pressão.
(b) Meio: as pressões são iguais.
(c) Trás: a taça em aceleração tem maior pressão.