3-92C Consider two identical glasses of water, one stationary and the other moving on a horizontal plane with constant acceleration. Assuming no splashing or spilling occurs, which glass will have a higher pressure at the (a) front, (b) midpoint, and (c) back of the bottom surface?

Passo 1

O enunciado dá duas taças idênticas cheias de água: uma fica estacionária e a outra move-se num plano horizontal com aceleração constante. Não há respingos nem derramamento. Pergunta-se qual das duas apresenta maior pressão nos pontos da base correspondentes a (a) frente, (b) meio (ponto central) e (c) trás da superfície inferior da água.
Informações relevantes que temos (listadas explicitamente):
  • A aceleração da taça em movimento tem magnitude \,a\, e direção horizontal (escolhemos a direção positiva para a frente da taça).
  • A gravidade tem intensidade \,g\, e atua verticalmente para baixo.
  • A densidade do líquido é \,\rho\,.
  • A pressão na superfície livre é a pressão atmosférica p_{\mathrm{atm}}.
  • As duas taças são idênticas (mesmo volume e geometria).
  • Não há perda de líquido, então o volume de água em cada taça é o mesmo.

Passo 2

Conceito-chave: em um referencial acelerado (o referencial que se move com a taça acelerada) podemos incluir uma “força fictícia” por unidade de massa -\vec{a} que, somada à gravidade, define um campo de aceleração efetiva \vec{g}_{\mathrm{ef}}. Isso permite usar as fórmulas da hidrostática substituindo \vec{g} por \vec{g}_{\mathrm{ef}}.
Definições e notação (para sermos concretos):
  • Tomemos um sistema de eixos com x horizontal apontando para a frente da taça (direção da aceleração) e z vertical apontando para cima.
  • A gravidade é \vec{g} = -g\,\hat{z}.
  • A taça acelera para a frente com \vec{a} = a\,\hat{x}. No referencial acelerado da taça aparece a aceleração fictícia -\vec{a} = -a\,\hat{x}.
  • Portanto a aceleração efetiva que determina a pressão é
\vec{g}_{\mathrm{ef}} = \vec{g} - \vec{a} = -a\,\hat{x} - g\,\hat{z}.
Equação fundamental da hidrostática no referencial acelerado: a variação espacial da pressão satisfaz
\nabla p = \rho\,\vec{g}_{\mathrm{ef}}.
Escrevendo componentes:
\frac{\partial p}{\partial x} = -\rho a,\qquad \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g.
Integramos essas equações para obter o campo de pressão. Integrando primeiro em z:
p(x,z) = -\rho g z + f(x),
onde f(x) é função só de x. Derivando isso em relação a x e usando \partial p/\partial x = -\rho a f'(x)=-\rho a, logo f(x) = -\rho a x + C. Portanto
\boxed{\,p(x,z) = -\rho a x - \rho g z + C\,}
em que C é constante a determinar por condições de contorno (por exemplo a pressão na superfície livre).

Passo 3

Obter a forma da superfície livre e relacioná-la com a taça estacionária. Na superfície livre z=z_s(x) vale p=p_{\mathrm{atm}}. Então, substituindo:
p_{\mathrm{atm}} = -\rho a x - \rho g z_s(x) + C.
Como C é constante, derivando ambos os lados em relação a x obtemos
0 = -\rho a - \rho g \frac{dz_s}{dx}\quad\Rightarrow\quad \frac{dz_s}{dx} = -\frac{a}{g}.
Isto mostra que a superfície livre é uma reta inclinada com declive -a/g: quando a taça acelera para a frente ( a>0), a superfície fica mais alta na parte de trás e mais baixa na frente — resultado físico intuitivo (o líquido “se empilha” na parte traseira).
Agora vamos comparar pressões na base. Para fixar coordenadas, tomemos:
  • plano da base em z=0,
  • x=0 no ponto médio (meio) da base,
  • a frente em x=+W/2 e a trás em x=-W/2, onde \,W\, é a largura interna da taça na direção x.
Usando a expressão geral do passo anterior e impondo que a altura média (volume) da água é a mesma nas duas taças, vemos que a constante C ajusta-se de modo que a altura no meio da taça em aceleração seja igual à altura h_s da taça estacionária. Mais formalmente, como a superfície tem declive linear, a média de z_s(x) sobre [-W/2,W/2] é simplesmente o valor no meio; conservação de volume implica que o valor central z_s(0) é igual à altura uniforme h_s da taça estacionária. Logo podemos identificar z_0 := z_s(0)=h_s.
Voltando à pressão no fundo ( z=0), a expressão geral dá
p(x,0) = -\rho a x - \rho g\cdot 0 + C = C - \rho a x.
Para a taça estacionária a pressão no fundo (em qualquer x) é simplesmente
p_{\text{est}} = p_{\mathrm{atm}} + \rho g h_s.
Podemos relacionar C a p_{\text{est}} observando que no ponto médio x=0,z=0 da taça em aceleração a pressão será igual à pressão no fundo da taça estacionária (porque z_s(0)=h_s e p na superfície é p_{\mathrm{atm}}); assim p(0,0)=p_{\text{est}}, o que implica C=p_{\text{est}}. Portanto
\boxed{\,p_{\text{acel}}(x,0) = p_{\text{est}} - \rho a x\,.}
Agora avalie nos pontos pedidos:
  • ponto da frente: x=+W/2. Então
p_{\text{acel, frente}} = p_{\text{est}} - \rho a\frac{W}{2} < p_{\text{est}}.
Portanto a pressão na frente da taça em movimento é menor que a pressão correspondente na taça estacionária.
  • ponto do meio: x=0. Então
p_{\text{acel, meio}} = p_{\text{est}}.
Portanto no ponto central as pressões são iguais.
  • ponto de trás: x=-W/2. Então
p_{\text{acel, tras}} = p_{\text{est}} + \rho a\frac{W}{2} > p_{\text{est}}.
Portanto a pressão na traseira da taça em movimento é maior que na taça estacionária.
(Física-intuitiva: a aceleração “empurra” o fluido para trás, aumentando a profundidade e a pressão lá; na frente o volume local diminui, reduzindo a pressão; no meio fica igual ao caso estacionário.)

Passo 4

Resumo qualitativo e confirmação final:
  • Frente: a pressão no fundo da taça que está se acelerando é menor do que na taça estacionária (pois a superfície está mais baixa na frente).
  • Meio: as pressões são iguais (a altura central é igual pela conservação do volume).
  • Trás: a pressão no fundo da taça acelerada é maior do que na taça estacionária (a água se acumula lá).

Resposta

(a) Frente: a taça estacionária tem maior pressão.
(b) Meio: as pressões são iguais.
(c) Trás: a taça em aceleração tem maior pressão.

Exercícios relacionados