3-100 A fish tank that contains 40-\mathrm{cm}-high water is moved in the cabin of an elevator. Determine the pressure at the bot-tom of the tank when the elevator is
stationary

Passo 1

O enunciado pede para determinar a pressão no fundo de um aquário quando o elevador está parado. Dados fornecidos no enunciado:
  • A altura da coluna de água é 40\\ \mathrm{cm}.
  • O elevador está estacionário (ou seja, não há acelerações adicionais).
    Não há outras informações explícitas no enunciado (como pressão externa), então vamos usar a pressão atmosférica padrão se for necessária.

Passo 2

Vamos entender o que se pede: a pressão no fundo do tanque é a pressão exercida pelo fluido devido ao peso da coluna de água acima de um ponto mais a pressão externa na superfície (se quisermos a pressão absoluta). Intuitivamente: quanto mais fundo, maior a pressão porque há mais água acima “pressionando”. Agora vamos transformar essa ideia em uma fórmula que possamos aplicar.

Passo 3

Deduzimos a fórmula básica a partir do equilíbrio de forças numa coluna cilíndrica imaginária de água com área de base A e altura h. A massa dessa coluna é \rho A h, onde \rho é a densidade do líquido. O peso dessa coluna é \rho A h g, com g a aceleração da gravidade. A diferença de pressão entre o fundo ( p) e o topo ( p_0, pressão na superfície) multiplicada por A deve equilibrar esse peso:
(p - p_0)A = \rho A h g.
Cancelando A obtemos a fórmula da variação de pressão com a profundidade:
p = p_0 + \rho g h.
Aqui:
  • p é a pressão absoluta no fundo;
  • p_0 é a pressão na superfície (normalmente a pressão atmosférica);
  • \rho é a densidade do líquido ( \mathrm{kg\!/m^3});
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m\!/s^2});
  • h é a altura da coluna de líquido ( \mathrm{m}).
Se a questão pedir apenas a pressão adicional causada pela água (pressão manométrica ou “gauge”), usamos apenas
p_{\text{gauge}}=\rho g h.

Passo 4

Agora colocamos os valores numéricos e unidades:
  • Converter a altura: h=40\\ \mathrm{cm}=0,40\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da água (valor padrão): \rho=1000\\ \mathrm{kg\!/m^{3}}.
  • Aceleração da gravidade (valor padrão): g=9{,}81\\ \mathrm{m\!/s^{2}}.
  • Pressão atmosférica padrão (se quisermos pressão absoluta): vou usar p_{0}=1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (valor aproximado de 1{,}01\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}).

Passo 5

Calculamos primeiro a pressão manométrica (somente pelo peso da água):
p_{\text{gauge}}=\rho g h = 1000 \times 9{,}81 \times 0{,}40\\ \mathrm{Pa}.
Fazendo as contas passo a passo:
9{,}81\times0{,}40 = 3{,}924,
1000\times3{,}924 = 3924\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando para três algarismos significativos:
p_{\text{gauge}}\approx 3{,}92\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Se quisermos a pressão absoluta no fundo (ou seja, incluindo a pressão atmosférica na superfície), somamos p_{0}:
p = p_{0} + p_{\text{gauge}} = 1{,}01\times10^{5} + 3924\\ \mathrm{Pa}.
Somando:
p \approx 1{,}04924\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma conveniente (três algarismos significativos):
p \approx 1{,}05\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Resumo rápido para decorar: com o elevador parado não há efeito extra, então a pressão no fundo depende só da altura da água segundo p=p_0+\rho g h. Você pode usar \rho=1000\\ \mathrm{kg\!/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m\!/s^2} e converter 40\\ \mathrm{cm} para 0,40\\ \mathrm{m}. Você já pode aplicar isso rapidamente na prova — vai dar certo, respira e segue em frente!

Resposta

p_{\text{gauge}}=3{,}92\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}
p_{\text{absolute}}=1{,}05\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}

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