Se
e^z / (1 - z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + ... para |z| < 1
Encontre o valor de a3.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 8 / 3
e) 65 / 24.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma expressão que envolve uma série de potências e precisa encontrar o coeficiente na expansão de para . Para isso, vamos precisar entender como expandir funções em séries de potências e como multiplicar essas séries para encontrar o coeficiente desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a expansão da função exponencial em série de potências. Sabemos que:
Aqui, representa o fatorial de , que é o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 3

Agora, vamos expandir em série de potências. Essa é uma série geométrica conhecida:

Passo 4

Para encontrar , precisamos multiplicar as duas séries que encontramos:
Queremos encontrar o coeficiente de nessa multiplicação, que será .

Passo 5

Vamos calcular somando os produtos dos coeficientes que resultam em :
Convertendo para fração, temos .

Resposta

d) .

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