Se
Encontre o valor de
.
a) 0
b) 1
c) 2
d)
e)
.
a) 0
b) 1
c) 2
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma expressão que envolve uma série de potências e precisa encontrar o coeficiente
na expansão de
para
. Para isso, vamos precisar entender como expandir funções em séries de potências e como multiplicar essas séries para encontrar o coeficiente desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a expansão da função exponencial
em série de potências. Sabemos que:
Aqui,
representa o fatorial de
, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até
.
Passo 3
Agora, vamos expandir
em série de potências. Essa é uma série geométrica conhecida:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos multiplicar as duas séries que encontramos:
Queremos encontrar o coeficiente de
nessa multiplicação, que será
.
Passo 5
Vamos calcular
somando os produtos dos coeficientes que resultam em
:
Convertendo para fração, temos
.
Resposta
d)
.