Considere a série de Laurent de R(z)=z+2z^2-5 z+4 no anel 1<|z|<4 :
R(z)=sumn >= 0 an z^n+sumn >= 1 bn z^-n
Encontre o valor de a2 cdot b2.
a) 0
b) 1
c) 1 / 4
d) 1 / 16
e) 1 / 32.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que trabalhar com a função e desenvolver a série de Laurent dela no anel onde . Nosso objetivo é encontrar o produto dos coeficientes e nessa série. Para isso, vamos precisar fazer uma fração parcial e depois expandir cada parte da função em série adequada para o anel dado.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função z^2 - 5z + 4 = (z - 1)(z - 4) . A expressão R(z) = z + 2(z - 1)(z - 4) pode ser fatorada assim:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa função em frações parciais. Queremos escrever R(z) = Az - 1 + Bz - 4 como:
z + 2 = A(z - 4) + B(z - 1)
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Vamos resolver para e .

Passo 4

Para encontrar 4 + 2 = A(4 - 4) + B(4 - 1) Rightarrow 6 = 0 + 3B Rightarrow B = 2 e 1 + 2 = A(1 - 4) + B(1 - 1) Rightarrow 3 = -3A + 0 Rightarrow A = -1 , podemos escolher valores de R(z) = -1z - 1 + 2z - 4 que simplificam a equação.
Primeiro, se :
Segundo, se :
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos expandir cada termo em uma série de Laurent válida para 1z - 1 = 1z cdot 11 - 1z = 1z ( 1 + 1z + 1z^2 + cdots ) .
Primeiro, para 1z - 4 = -14 cdot 11 - z4 = -14 ( 1 + z4 + ( z4 )^2 + cdots ) :
Essa é uma série de potências negativas, adequada para .
Segundo, para :
Essa é uma série de potências positivas, adequada para .

Passo 6

Agora, substituindo de volta na expressão de R(z) = -( 1z + 1z^2 + 1z^3 + cdots ) + 2 ( -14 - z16 - z^264 - cdots ) :
R(z) = -1z - 1z^2 - 1z^3 - cdots - 12 - z8 - z^232 - cdots
Simplificando:

Passo 7

Identificando os coeficientes sumn >= 0 an z^n = -12 - z8 - z^232 - cdots e sumn >= 1 bn z^-n = -1z - 1z^2 - 1z^3 - cdots :
  • Os termos com potências positivas de vêm da segunda parte:
    Então, , , , etc.
  • Os termos com potências negativas de vêm da primeira parte:
    Então, , , , etc.

Passo 8

Agora, queremos o produto a2 = -132, b2 = -1 :
a2 cdot b2 = ( -132 ) cdot (-1) = 132
Então:

Resposta

A resposta correta é a letra e) .

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