Se A=A0x x+A0y y+A0z z é um vetor constante e r=x x+y y+z z é o vetor posição que parte da origem e localiza o ponto P=(x, y, z) nos sistema de coordenadas retangulares; mostre que:
(r-A) cdot r=0 é a equação de uma esfera centrada no ponto (A0x2, A0y2, A0z2) e raio A^24, onde A é o módulo do vetor A.

Passo 1

Beleza, então temos um vetor fixo
(vec r - vec A)cdot vec r ;=; 0
e o vetor posição
.
O enunciado pede pra mostrar que o lugar geométrico dos pontos que satisfazem
é uma esfera.
Conteúdo envolvido: produto escalar de vetores e técnica de completar quadrado para identificar centro e raio de esferas.

Passo 2

Primeiro, lembre que o produto escalar é distributivo:
(vec r - vec A)cdot vec r = vec rcdotvec r ;-;vec Acdotvec r
E x^2 + y^2 + z^2 ;-;(A0xx + A0yy + A0zz) ;=; 0 , enquanto
.
Logo a equação vira

Passo 3

Agora precisamos escrever isso como uma soma de quadrados “completos”.
Para cada variável, por exemplo em x^2 - A0xx = l(x^2 - A0xx + tfracA0x^24r) - tfracA0x^24 = l(x - tfracA0x2r)^2 - tfracA0x^24 :
(x - tfracA0x2)^2 + (y - tfracA0y2)^2 + (z - tfracA0z2)^2 ;-;A0x^2+A0y^2+A0z^24 ;=;0
Fazemos o mesmo para e .
Somando tudo:

Passo 4

Reorganizando:
(x - tfracA0x2)^2 + (y - tfracA0y2)^2 + (z - tfracA0z2)^2 ;=; A0x^2 + A0y^2 + A0z^24
Mas .
Então esse é o padrão de equação de esfera, com centro e raio identificados.

Resposta

A equação l(tfracA0x2, ,tfracA0y2, ,tfracA0z2r) representa uma esfera de centro
raizA^24 ;=; lvert vec Arvert2
e raio

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