Se
é um vetor constante e
é o vetor posição que parte da origem e localiza o ponto
nos sistema de coordenadas retangulares; mostre que:
é a equação de uma esfera centrada no ponto
e raio
, onde
é o módulo do vetor
.
Passo 1
Beleza, então temos um vetor fixo
e o vetor posição
.
O enunciado pede pra mostrar que o lugar geométrico dos pontos que satisfazem
e o vetor posição
O enunciado pede pra mostrar que o lugar geométrico dos pontos que satisfazem
é uma esfera.
Conteúdo envolvido: produto escalar de vetores e técnica de completar quadrado para identificar centro e raio de esferas.
Conteúdo envolvido: produto escalar de vetores e técnica de completar quadrado para identificar centro e raio de esferas.
Passo 2
Primeiro, lembre que o produto escalar é distributivo:
E
, enquanto
.
Logo a equação vira
Logo a equação vira
Passo 3
Agora precisamos escrever isso como uma soma de quadrados “completos”.
Para cada variável, por exemplo em :
Para cada variável, por exemplo em
Fazemos o mesmo para
e
.
Somando tudo:
Somando tudo:
Passo 4
Reorganizando:
Mas
.
Então esse é o padrão de equação de esfera, com centro e raio identificados.
Então esse é o padrão de equação de esfera, com centro e raio identificados.
Resposta
A equação
representa uma esfera de centro
e raio