Se A=A0x x+A0y y+A0z z é um vetor constante e r=x x+y y+z z é o vetor posição que parte da origem e localiza o ponto P=(x, y, z) nos sistema de coordenadas retangulares; mostre que:
(r-A) cdot A=0 é a equação de um plano do tipo ax+by+cz+d=0,onde a=A0x, b=A0y, c=A0z e d=-A^2, o módulo do vetor A.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: a gente tem um vetor constante
(vec r - vec A)cdot vec A ;=; 0
e o vetor posição
a,x + b,y + c,z + d = 0,
que indica qualquer ponto a = A0x, b = A0y, c = A0z, d = -|vec A|^2 . A tarefa é mostrar que a equação
é exatamente a mesma coisa que um plano escrito na forma
onde a gente identifica
O conteúdo aqui é produto escalar e geometria de planos. Vamos precisar lembrar como expandir o produto escalar e como se escreve a equação de um plano a partir de um vetor normal.

Passo 2

Primeiro, revisando o produto escalar: se
vec Ucdotvec V ;=; Ux,Vx ;+; Uy,Vy ;+; Uz,Vz e
|vec A|^2 = vec Acdot vec A = A0x^2 + A0y^2 + A0z^2 , então
Além disso, o quadrado do módulo de é

Passo 3

Vamos expandir
(vec r - vec A)cdot vec A = vec rcdot vec A ;-; vec Acdot vec A
  1. (vec r - vec A)cdot vec A = l(A0xx + A0yy + A0zzr) - l(A0x^2 + A0y^2 + A0z^2r)
Então

Passo 4

A condição A0x,x ;+; A0y,y ;+; A0z,z ;-;l(A0x^2 + A0y^2 + A0z^2r) ;=;0 vira
a,x + b,y + c,z + d = 0,
Isso tem o formato
a = A0x, b = A0y, c = A0z, d = -l(A0x^2 + A0y^2 + A0z^2r) = -|vec A|^2
bastando identificar

Resposta

Mostramos que
(vec r - vec A)cdot vec A = 0
é exatamente o plano
A0x,x + A0y,y + A0z,z ;-; |vec A|^2 = 0,
ou seja,
a = A0x, b = A0y, c = A0z, d = -A^2 = -|vec A|^2

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