Abaixo se encontra a tábua de um grupo de ordem 6 cujo conjunto dos elementos é representado por G:
d e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c d f e a
c c d f e a b
d d f e a b c
f f e a b c d
Resolva a seguinte equação em G : (c cdot d)^-1 cdot x^-1 cdot b cdot a^-1=f^-1.

Passo 1

O enunciado dá um grupo G de ordem 6 cujo elemento neutro é e e pede para resolver a equação
(ccdot d)^-1,cdot,x^-1,cdot,b,cdot,a^-1=f^-1
O conteúdo aqui é manipular equações em grupos finitos, usando propriedades de inversos e a tabela dada (que mostra que o grupo é cíclico de ordem 6, gerado por a).

Passo 2

Calculemos primeiro ccdot d pela tábua: na linha c e coluna d aparece a. Logo
ccdot d = a
e portanto
(ccdot d)^-1 = a^-1 = f

Passo 3

Substituindo em
(ccdot d)^-1,cdot,x^-1,cdot,b,cdot,a^-1
ficamos com
f,cdot,x^-1,cdot,b,cdot,a^-1
Na tábua, a^-1=f, então bcdot a^-1=bcdot f. Pela linha b, coluna f temos bcdot f = a. Assim a expressão vira
f,cdot,x^-1,cdot,a

Passo 4

Queremos
f,cdot,x^-1,cdot,a = f^-1
Como f^-1=a, temos
f,x^-1,a = a
Multiplicando à esquerda por f^-1=a anula f, sobrando
x^-1,a = acdot a = a^2 = b
Logo
x^-1 = b,cdot,a^-1 = b,f = a,
pois bcdot f=a. Então
x = a^-1 = f

Resposta

x = f

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