Abaixo, encontra-se a tábua de um grupo de ordem 6 cujo conjunto dos elementos é representado por
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Determine
de maneira que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um grupo
de ordem 6 com os elementos
e uma tabela de operação que nos mostra como os elementos se combinam. O que precisamos encontrar é o elemento
em
que satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de grupos, como inversos e propriedades das operações em grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um grupo, todo elemento tem um inverso, ou seja, para cada elemento
, existe um
tal que
, onde
é o elemento neutro.
Dada a tabela de operação do grupo, podemos identificar os inversos de cada elemento:
-
(pois é o neutro) -
-
-
-
-
(pelo tabela, )
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação dada passo a passo:
Substituindo
e calculando o inverso de
:
Sabemos que
. Então:
Para encontrar
, primeiro calculamos
:
Consultando a tabela,
. Agora,
. Portanto:
Então nossa equação fica:
Passo 4
Queremos isolar
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa dos elementos que estão ao redor de
.
Primeiro, multiplicamos ambos os lados pela inversa de
, que é
, já que
:
Usando a associatividade:
Sabemos que
, então:
E como
é o neutro:
Agora, multiplicamos ambos os lados pela inversa de
, que é
:
Associando:
Consultando a tabela,
, então:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de
, que é
, na esquerda:
Associando:
Sabemos que
, então:
E
:
Passo 6
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados pela inversa de
, que é
:
Associando:
Sabemos que
, então:
Repetindo passos anteriores, notamos que algo está errado, então vamos simplificar de outra forma.
Passo 7
Vamos retomar do passo 4 onde tínhamos:
Multiplicando ambos os lados pela inversa de
, que é
:
Como
:
Agora, multiplicando ambos os lados pela inversa de
, que é
, à esquerda:
Como
:
E como
:
Agora, multiplicamos ambos os lados pela inversa de
, que é
, à direita:
Sabemos que
:
E
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Consultando a tabela,
, então:
Em seguida,
:
Agora,
:
E
:
Resposta
O elemento
que satisfaz a equação é
.