Abaixo, encontra-se a tábua de um grupo de ordem 6 cujo conjunto dos elementos é representado por G=e, a, b, c, d, f:
cdot e a b c d f
e e a b c d f
a a b e f c d
b b e a d f c
c c d f e a b
d d f c b e a
f f c d a b e
Determine x in G de maneira que d^-1 cdot f cdot x cdot b=(a cdot b cdot c)^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um grupo G de ordem 6 com os elementos G = e, a, b, c, d, f e uma tabela de operação que nos mostra como os elementos se combinam. O que precisamos encontrar é o elemento x em G que satisfaz a equação:
d^-1 cdot f cdot x cdot b = (a cdot b cdot c)^-1
Para resolver isso, vamos usar conceitos de grupos, como inversos e propriedades das operações em grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um grupo, todo elemento tem um inverso, ou seja, para cada elemento g , existe um g^-1 tal que g cdot g^-1 = e , onde e é o elemento neutro.
Dada a tabela de operação do grupo, podemos identificar os inversos de cada elemento:
  • e^-1 = e (pois e é o neutro)
  • a^-1 = b
  • b^-1 = a
  • c^-1 = f
  • f^-1 = c
  • d^-1 = d (pelo tabela, d cdot d = e )

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação dada passo a passo:
d^-1 cdot f cdot x cdot b = (a cdot b cdot c)^-1
Substituindo d^-1 e calculando o inverso de a cdot b cdot c :
Sabemos que d^-1 = d . Então:
d cdot f cdot x cdot b = (a cdot b cdot c)^-1
Para encontrar (a cdot b cdot c)^-1 , primeiro calculamos a cdot b :
Consultando a tabela, a cdot b = e . Agora, e cdot c = c . Portanto:
(a cdot b cdot c) = c Rightarrow (a cdot b cdot c)^-1 = c^-1 = f
Então nossa equação fica:
d cdot f cdot x cdot b = f

Passo 4

Queremos isolar x . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa dos elementos que estão ao redor de x .
Primeiro, multiplicamos ambos os lados pela inversa de d , que é d , já que d^-1 = d :
d cdot (d cdot f cdot x cdot b) = d cdot f
Usando a associatividade:
(d cdot d) cdot f cdot x cdot b = d cdot f
Sabemos que d cdot d = e , então:
e cdot f cdot x cdot b = d cdot f
E como e é o neutro:
f cdot x cdot b = d cdot f
Agora, multiplicamos ambos os lados pela inversa de f , que é c :
c cdot (f cdot x cdot b) = c cdot d cdot f
Associando:
(c cdot f) cdot x cdot b = c cdot d cdot f
Consultando a tabela, c cdot f = b , então:
b cdot x cdot b = c cdot d cdot f

Passo 5

Agora, vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de b , que é a , na esquerda:
a cdot (b cdot x cdot b) = a cdot (c cdot d cdot f)
Associando:
(a cdot b) cdot x cdot b = a cdot c cdot d cdot f
Sabemos que a cdot b = e , então:
e cdot x cdot b = a cdot c cdot d cdot f
E e cdot x = x :
x cdot b = a cdot c cdot d cdot f

Passo 6

Para isolar x , multiplicamos ambos os lados pela inversa de b , que é a :
a cdot (x cdot b) = a cdot a cdot c cdot d cdot f
Associando:
(a cdot x) cdot b = a cdot a cdot c cdot d cdot f
Sabemos que a cdot a = b , então:
b cdot x cdot b = a cdot c cdot d cdot f
Repetindo passos anteriores, notamos que algo está errado, então vamos simplificar de outra forma.

Passo 7

Vamos retomar do passo 4 onde tínhamos:
f cdot x cdot b = d cdot f
Multiplicando ambos os lados pela inversa de f , que é c :
c cdot f cdot x cdot b = c cdot d cdot f
Como c cdot f = b :
b cdot x cdot b = c cdot d cdot f
Agora, multiplicando ambos os lados pela inversa de b , que é a , à esquerda:
a cdot b cdot x cdot b = a cdot c cdot d cdot f
Como a cdot b = e :
e cdot x cdot b = a cdot c cdot d cdot f
E como e cdot x = x :
x cdot b = a cdot c cdot d cdot f
Agora, multiplicamos ambos os lados pela inversa de b , que é a , à direita:
x cdot b cdot a = a cdot c cdot d cdot f cdot a
Sabemos que b cdot a = e :
x cdot e = a cdot c cdot d cdot f cdot a
E x cdot e = x :
x = a cdot c cdot d cdot f cdot a

Passo 8

Agora, vamos calcular a cdot c :
Consultando a tabela, a cdot c = f , então:
x = f cdot d cdot f cdot a
Em seguida, f cdot d = a :
x = a cdot f cdot a
Agora, a cdot f = d :
x = d cdot a
E d cdot a = c :
x = c

Resposta

O elemento x que satisfaz a equação é x = c .

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