Abalise as afirmações abaixo, assinale V para as verdadeiras, F para as falsas e justifique suas escolhas.
Se f(x) \leq g(x) \leq h(x) quando x está próximo de a e \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} h(x)=L então \lim _{x \rightarrow a} g(x)=L.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • São dadas três funções f,g,h tais que, quando x está próximo de a, vale f(x)\le g(x)\le h(x).
  • Além disso sabe-se que \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L.
O que se pede: decidir se a afirmação
\text{então }\lim_{x\to a} g(x)=Lã
é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar a escolha.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): provar que \lim_{x\to a} g(x)=L usando a definição de limite (epsilon–delta). A ideia é: a partir do fato de que f e h ficam arbitrariamente próximas de L quando x está suficientemente próximo de a, e sabendo que g(x) está “entre” f(x) e h(x), mostrar que g(x) também fica arbitrariamente próxima de L.

Passo 3

Lembrando a definição de limite que vamos usar (explicadinha):
  • Dizer que \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=L significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x com 0<|x-a|<\delta, vale |f(x)-L|<\varepsilon.
    Aqui \varepsilon é a “tolerância” que escolhemos para a diferença em torno de L, e \delta é a distância do ponto a dentro da qual a função fica nessa tolerância.

Passo 4

Aplicando a definição aos limites de f e h:
  • Como \lim_{x\to a} f(x)=L, então para um dado \varepsilon>0 existe \delta_1>0 tal que, se 0<|x-a|<\delta_1, então |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Como \lim_{x\to a} h(x)=L, então para o mesmo \varepsilon>0 existe \delta_2>0 tal que, se 0<|x-a|<\delta_2, então |h(x)-L|<\varepsilon.
Escolhe-se agora
\delta=\min(\delta_1,\delta_2).
Assim, se 0<|x-a|<\delta então simultaneamente |f(x)-L|<\varepsilon e |h(x)-L|<\varepsilon.

Passo 5

Usar a desigualdade f(x)\le g(x)\le h(x). Subtraindo L de todos os termos obtém-se
f(x)-L \le g(x)-L \le h(x)-L.
Agora uma observação importante (explicando bem): se um número y está entre dois números A e B ( A\le y\le B), então o valor absoluto |y| não pode ser maior que o maior entre |A| e |B|. Aplicando isso com A=f(x)-L, y=g(x)-L, B=h(x)-L, obtemos
|g(x)-L|\le \max\big(|f(x)-L|,\;|h(x)-L|\big).
(Se quiser ver rápido por que isso é verdade: considera os três casos A\le B\le 0, A\le 0\le B e 0\le A\le B; em cada caso o módulo de y fica limitado pelo maior dos módulos de A e B.)

Passo 6

Combinando o passo anterior com as estimativas obtidas no Passo 4: para 0<|x-a|<\delta temos |f(x)-L|<\varepsilon e |h(x)-L|<\varepsilon. Logo
|g(x)-L|\le \max\big(|f(x)-L|,\;|h(x)-L|\big) <\varepsilon.
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o escolhido acima) tal que, se 0<|x-a|<\delta, então |g(x)-L|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=L.

Passo 7

Interpretação final e exemplo rápido para intuir: a desigualdade f(x)\le g(x)\le h(x) “prende” g(x) entre duas curvas que se aproximam da mesma altura L em a. Assim g(x) também é forçada a se aproximar de L. Exemplo concreto e simples: tome L=0, f(x)=-|x-a|, g(x)=0, h(x)=|x-a|. Para x próximo de a vale f(x)\le g(x)\le h(x), e tanto f quanto h tendem a 0 quando x\to a; então g tende a 0 também — faz sentido na prática.

Resposta

V

Exercícios relacionados