Abalise as afirmações abaixo, assinale V para as verdadeiras, F para as falsas e justifique suas escolhas.
Se
quando
está próximo de
e
então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
- São dadas três funções
tais que, quando está próximo de , vale - Além disso sabe-se que
O que se pede: decidir se a afirmação
é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar a escolha.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): provar que
usando a definição de limite (epsilon–delta). A ideia é: a partir do fato de que
e
ficam arbitrariamente próximas de
quando
está suficientemente próximo de
, e sabendo que
está “entre”
e
, mostrar que
também fica arbitrariamente próxima de
.
Passo 3
Lembrando a definição de limite que vamos usar (explicadinha):
- Dizer que
significa que para todo existe tal que, para todo com , vale .
Aquié a “tolerância” que escolhemos para a diferença em torno de , e é a distância do ponto dentro da qual a função fica nessa tolerância.
Passo 4
Aplicando a definição aos limites de
e
:
- Como
, então para um dado existe tal que, se , então - Como
, então para o mesmo existe tal que, se , então
Escolhe-se agora
Assim, se
então simultaneamente
e
.
Passo 5
Usar a desigualdade
. Subtraindo
de todos os termos obtém-se
Agora uma observação importante (explicando bem): se um número
está entre dois números
e
(
), então o valor absoluto
não pode ser maior que o maior entre
e
. Aplicando isso com
,
,
, obtemos
(Se quiser ver rápido por que isso é verdade: considera os três casos
,
e
; em cada caso o módulo de
fica limitado pelo maior dos módulos de
e
.)
Passo 6
Combinando o passo anterior com as estimativas obtidas no Passo 4: para
temos
e
. Logo
Portanto, para todo
existe
(o escolhido acima) tal que, se
, então
. Isso é exatamente a definição de
.
Passo 7
Interpretação final e exemplo rápido para intuir: a desigualdade
“prende”
entre duas curvas que se aproximam da mesma altura
em
. Assim
também é forçada a se aproximar de
. Exemplo concreto e simples: tome
,
,
,
. Para
próximo de
vale
, e tanto
quanto
tendem a
quando
; então
tende a
também — faz sentido na prática.
Resposta
V