Abalise as afirmações abaixo, assinale V para as verdadeiras, F para as falsas e justifique suas escolhas.
Se f(x) \geq g(x) quando x está próximo de a e os limites de f e g existem quanto x tende a a, então \lim _{x \rightarrow a} f(x) \leq \lim _{x \rightarrow a} g(x).

Passo 1

O enunciado dá a seguinte condição e pede para avaliar sua veracidade:
  • Condição: f(x)\ge g(x) quando x está próximo de a.
  • Informação adicional: os limites \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x) existem.
  • Afirmação a ser avaliada: então \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\le \lim_{x\to a} g(x).
O que se pede: marcar V (verdadeira) ou F (falsa) e justificar a escolha.

Passo 2

Antes de qualquer prova formal, pensar intuitivamente: se em ponto próximos a a sempre temos f(x) maior ou igual que g(x), é natural esperar que o valor-limite de f não seja menor que o valor-limite de g. Ou seja, a intuição sugere que a desigualdade dos limites deve ser na mesma direção da desigualdade das funções: se f\ge g então \lim f \ge \lim g. A afirmação dada no enunciado apresenta a desigualdade invertida ( \lim f\le \lim g), o que já soa suspeito.

Passo 3

Vou mostrar o resultado correto e provar por que a afirmação do enunciado está errada. Seja
L=\lim_{x\to a} f(x),\qquad M=\lim_{x\to a} g(x).
Defina h(x)=f(x)-g(x). Pela hipótese, existe um entorno de a (exceto, possivelmente, em a mesmo) tal que
h(x)=f(x)-g(x)\ge 0.
Como f e g têm limites em a, a função h também tem limite em a (diferença de limites):
\lim_{x\to a} h(x)=\lim_{x\to a} (f(x)-g(x)) = L-M.

Passo 4

Agora a parte crucial: provar que L-M\ge 0. Faça por contradição. Suponha que
L-M<0.
Escolha
\varepsilon = -\frac{L-M}{2}>0.
Pelo fato de \lim_{x\to a} h(x)=L-M, existe \delta>0 tal que, para 0<|x-a|<\delta,
|h(x)-(L-M)|<\varepsilon.
Isto implica, para tais x,
h(x) < (L-M)+\varepsilon = \frac{L-M}{2} <0,
o que contradiz a hipótese h(x)\ge 0 para x próximo de a. Logo a suposição L-M<0 é impossível. Portanto
L-M\ge 0\quad\Rightarrow\quad L\ge M.

Passo 5

Conclusão lógica: a hipótese f(x)\ge g(x) próxima de a e existência dos limites implica
\lim_{x\to a} f(x)\ge \lim_{x\to a} g(x).
Portanto a afirmação do enunciado, que afirmava \lim_{x\to a} f(x)\le \lim_{x\to a} g(x), é falsa.

Passo 6

Para tornar a ideia ainda mais concreta (contraexemplo simples): escolha f(x)=1 para todo x e g(x)=0 para todo x. Então, para qualquer a, tem-se f(x)\ge g(x) em todo entorno de a. Os limites são
\lim_{x\to a} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,
e 1\not\le 0. Isso contradiz a afirmação dada e confirma que ela é falsa (a desigualdade correta é 1\ge 0).

Resposta

F

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