Abalise as afirmações abaixo, assinale V para as verdadeiras, F para as falsas e justifique suas escolhas.
Se
quando
está próximo de a e os limites de
e
existem quanto
tende a
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a seguinte condição e pede para avaliar sua veracidade:
- Condição:
quando está próximo de . - Informação adicional: os limites
e existem. - Afirmação a ser avaliada: então
.
O que se pede: marcar V (verdadeira) ou F (falsa) e justificar a escolha.
Passo 2
Antes de qualquer prova formal, pensar intuitivamente: se em ponto próximos a
sempre temos
maior ou igual que
, é natural esperar que o valor-limite de
não seja menor que o valor-limite de
. Ou seja, a intuição sugere que a desigualdade dos limites deve ser na mesma direção da desigualdade das funções: se
então
. A afirmação dada no enunciado apresenta a desigualdade invertida (
), o que já soa suspeito.
Passo 3
Vou mostrar o resultado correto e provar por que a afirmação do enunciado está errada. Seja
Defina
. Pela hipótese, existe um entorno de
(exceto, possivelmente, em
mesmo) tal que
Como
e
têm limites em
, a função
também tem limite em
(diferença de limites):
Passo 4
Agora a parte crucial: provar que
. Faça por contradição. Suponha que
Escolha
Pelo fato de
, existe
tal que, para
,
Isto implica, para tais
,
o que contradiz a hipótese
para
próximo de
. Logo a suposição
é impossível. Portanto
Passo 5
Conclusão lógica: a hipótese
próxima de
e existência dos limites implica
Portanto a afirmação do enunciado, que afirmava
, é falsa.
Passo 6
Para tornar a ideia ainda mais concreta (contraexemplo simples): escolha
para todo
e
para todo
. Então, para qualquer
, tem-se
em todo entorno de
. Os limites são
e
. Isso contradiz a afirmação dada e confirma que ela é falsa (a desigualdade correta é
).
Resposta
F