1. \int_{-1}^{1} \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}, x=\operatorname{tg} t. Resp. \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\left(1+x^{2}\right)^{2}},
e já indica a substituição x=\tan t. Informações relevantes dadas:
  • A variável original é x e os limites são x=-1 e x=1.
  • Está sugerida a substituição x=\tan t.
    O objetivo é efetuar essa substituição, transformar a integral em uma em t, calcular e obter o valor numérico final.

Passo 2

Explicar a substituição e as relações trigonométricas que vamos usar.
  • Tomamos x=\tan t. Aqui t é o novo parâmetro relacionado a x pela tangente.
  • Derivando, obtemos \dfrac{dx}{dt}=\operatorname{sec}^{2}t, onde \operatorname{sec} t é a função secante definida por \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}. Portanto
dx=\operatorname{sec}^{2}t\,dt.
  • Também usamos a identidade trigonométrica fundamental para tangente e secante:
1+\tan^{2}t=\operatorname{sec}^{2}t.
Isso nos permite reescrever 1+x^{2} quando x=\tan t.

Passo 3

Calcular os novos limites de integração em termos de t.
  • Quando x=-1, temos t=\arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}.
  • Quando x=1, temos t=\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}.
    Logo a integral em x de -1 a 1 vira uma integral em t de -\dfrac{\pi}{4} a \dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Substituir tudo na integral e simplificar o integrando passo a passo.
Partimos de
\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}.
Com x=\tan t temos 1+x^{2}=1+\tan^{2}t=\operatorname{sec}^{2}t (pela identidade acima) e dx=\operatorname{sec}^{2}t\,dt. Substituindo:
\frac{dx}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{\operatorname{sec}^{2}t\,dt}{(\operatorname{sec}^{2}t)^{2}}=\frac{\operatorname{sec}^{2}t}{\operatorname{sec}^{4}t}\,dt=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}t}\,dt=\cos^{2}t\,dt,
pois \dfrac{1}{\operatorname{sec}^{2}t}=\cos^{2}t. Portanto a integral transforma-se em
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos^{2}t\,dt.

Passo 5

Resolver a integral de \cos^{2}t usando a identidade do ângulo duplo.
A identidade que facilita é
\cos^{2}t=\frac{1+\cos(2t)}{2}.
Explicação: essa é uma identidade trigonométrica padrão obtida da fórmula de cosseno duplo. Substituindo na integral:
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos^{2}t\,dt =\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}1\,dt+\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos(2t)\,dt.

Passo 6

Calcular as duas integrais separadas.
  • Para a primeira:
\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}1\,dt=\frac{1}{2}\left[t\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} =\frac{1}{2}\Big(\frac{\pi}{4}-\big(-\frac{\pi}{4}\big)\Big) =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}.
  • Para a segunda, usamos que uma primitiva de \cos(2t) é \dfrac{1}{2}\sin(2t). Assim:
\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos(2t)\,dt =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin(2t)\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} =\frac{1}{4}\big(\sin\big(2\cdot\frac{\pi}{4}\big)-\sin\big(2\cdot(-\frac{\pi}{4})\big)\big).
Calcular os senos:
\sin\big(2\cdot\frac{\pi}{4}\big)=\sin\big(\frac{\pi}{2}\big)=1,\qquad \sin\big(2\cdot(-\frac{\pi}{4})\big)=\sin\big(-\frac{\pi}{2}\big)=-1.
Portanto a segunda integral vale
\frac{1}{4}\big(1-(-1)\big)=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}.

Passo 7

Somar as partes e apresentar o valor final.
A soma das duas contribuições é
\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}.
Isso coincide com a resposta indicada.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}

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