-
. Resp.
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
e já indica a substituição
. Informações relevantes dadas:
- A variável original é
e os limites são e . - Está sugerida a substituição
.
O objetivo é efetuar essa substituição, transformar a integral em uma em, calcular e obter o valor numérico final.
Passo 2
Explicar a substituição e as relações trigonométricas que vamos usar.
- Tomamos
. Aqui é o novo parâmetro relacionado a pela tangente. - Derivando, obtemos
, onde é a função secante definida por . Portanto
- Também usamos a identidade trigonométrica fundamental para tangente e secante:
Isso nos permite reescrever
quando
.
Passo 3
Calcular os novos limites de integração em termos de
.
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Logo a integral emde a vira uma integral em de a .
Passo 4
Substituir tudo na integral e simplificar o integrando passo a passo.
Partimos de
Partimos de
Com
temos
(pela identidade acima) e
. Substituindo:
pois
. Portanto a integral transforma-se em
Passo 5
Resolver a integral de
usando a identidade do ângulo duplo.
A identidade que facilita é
A identidade que facilita é
Explicação: essa é uma identidade trigonométrica padrão obtida da fórmula de cosseno duplo. Substituindo na integral:
Passo 6
Calcular as duas integrais separadas.
- Para a primeira:
- Para a segunda, usamos que uma primitiva de
é . Assim:
Calcular os senos:
Portanto a segunda integral vale
Passo 7
Somar as partes e apresentar o valor final.
A soma das duas contribuições é
A soma das duas contribuições é
Isso coincide com a resposta indicada.